§4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.

В этом и всех последующих параграфах все кривые и поверхности предполагаются гладкими класса C² и регулярными.

Определение. Пусть  – элементарная поверхность, а r : U ^–  – её параметризация, M(x_o, y_o, z_o) = r(u_o, v_o). Рассмотрим числа

L = r_uu· n;\s\up8(( = = = ,

M = r_uv· n;\s\up8(( = = = ,

N = r_vv· n;\s\up8(( = = = ,

где все производные вычисляются в точке (u_o, v_o). Пусть (;\s\up9( ( = ₁r_u + ₂r_v – произвольный вектор из касательной плоскости к поверхности в точке M. Тогда выражение

II((;\s\up9( (,(;\s\up9( ( ) = L ₁² + 2M₁₂ + N ₂² (13)

называется второй квадратичной формой поверхности в точке M.

В целом на поверхности L, M, N – это функции от u и v. Тогда выражение (13) называется второй квадратичной формой поверхности. Как и в случае с первой квадратичной формой, конкретный вид функций L, M, N зависит от выбора параметризации элементарной поверхности . Зависят от этого и координаты вектора (;\s\up9( ( в базисе {r_{u ,} r_v} (т.к. при изменении параметризации изменится и базис). Примем пока без доказательства, что значение II((;\s\up9( (,(;\s\up9( ( ) не изменится при допустимой замене параметра.

Пусть поверхность задана уравнением в явном виде z = f(x, y). Перепишем его в параметрическом виде:

x = u,

y = v,

z = f(u, v).

Тогда

r_u(1, 0, f_u), r_v(0, 1, f_v), r_uu(0, 0, f_uu), r_uv(0, 0, f_uv), r_vv(0, 0, f_vv);

E = r_u· r_u= 1 + (f_u)², F = r_u· r_v= f_u f_v , G = r_v· r_v= 1 + (f_v)²,

EG – F ² = 1 + (f_u)²+ (f_v)²;

L = = ,

учитывая, что u = x, а v = y. Аналогично находим, что

M = , N = . (14)

Упражнение. Вычислите коэффициенты второй квадратичной формы эллиптического параболоида z = x² + y².

Пусть  – кривая на элементарной поверхности , заданной параметрическим уравнением r;\s\up8(( = r(u, v). Зададим ее уравнением с естественным параметром: r;\s\up8(( = c(s), c(s) = r(u(s), v(s)). Пусть P ,  – единичный вектор главной нормали к  в точке P, а n;\s\up8(–( – единичный вектор нормали к поверхности. Пусть  = (, n;\s\up8(( ), а k – кривизна кривой  в точке P. Обозначим k_o= k | cos | .

Мы знаем, что c;\s\up5(·· = k . Умножим это равенство скалярно на n;\s\up8(–( :

c;\s\up5(·· · n;\s\up8(–( = k · n;\s\up8(–( = k| | | n;\s\up8(–( | cos  = k cos  .

С другой стороны, c;\s\up5( · = u;\s\up5( · r_u+ v;\s\up5( · r_v , c;\s\up5(·· = u;\s\up5(·· f_u+ v;\s\up5(·· r_v + (u;\s\up5( ·)²r_uu+ 2u;\s\up5( ·v;\s\up5( · r_uv+ (v;\s\up5( ·)²r_vv ,

c;\s\up5(·· · n;\s\up8(–( = u;\s\up5(·· r_u· n;\s\up8(–( + v;\s\up5(·· r_v· n;\s\up8(–( + (u;\s\up5( ·)²r_uu· n;\s\up8(–( + 2u;\s\up5( ·v;\s\up5( · r_uv· n;\s\up8(–( + (v;\s\up5( ·)²r_vv· n;\s\up8(–( .

Учитывая, что r_u n;\s\up8(( , r_v n;\s\up8(( получаем

c;\s\up5(·· ·n;\s\up8(( = L(u;\s\up5( ·)² + 2M u;\s\up5( ·v;\s\up5( · + N (v;\s\up5( ·)² = II(c;\s\up5( ·, c;\s\up5( ·)  k_o= | II(c;\s\up5( ·, c;\s\up5( ·)| .

Если параметризация кривой не является естественной, то вектор с не является единичным. Тогда c;\s\up5( · = с/| с|, и поэтому

k_o= |II| = | II(с, с)| = .

Возьмем теперь в качестве  кривую, которая получается в сечении поверхности плоскостью , проходящей через P параллельно вектору n;\s\up8(–( . Тогда вектор главной нормали  к кривой  в точке P будет

л ежать в этой плоскости и будет перпендикулярен касательной. Значит  ||n;\s\up8(( и | cos | = 1  k_o=k. Поэтому величина k_o называется кривизной нормального сечения поверхности в точке P в направлении кривой  или нормальной кривизной. Придадим этой величине знак, так чтобы была верна формула

k_o= . (15)

Именно в этой формуле заключается Теорема Менье.

Мы видим, что величина k_o не зависит от выбора конкретной параметризации кривой , а зависит только от направления касательного вектора с в точке P. Поэтому можем определить нормальную кривизну поверхности в направлении вектора (;\s\up9( (, лежащего в касательной плоскости:

k_o= .