11. Меры действия сил: элементарный импульс силы

Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени используют величину, называемую импульсом силы. Элементарный импульс силы – это векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия:

Импульс силы за конечный промежуток времени равен определенному интегралу от элементарного импульса:

В общем случае импульс силы может быть определен по его проекциям на координатные оси:

12. Кинетическая энергия

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех точек этой системы:

T = ∑ m_kv_k² / 2 ,

где m_k и v_k - масса и скорость k-й материальной точки, принадлежащей данной системе.

На основании теоремы Кёнига кинетическая энергия произвольной механической системы определяется по формуле

 T = Mv_C²/2 + ∑ m_kv_kr² / 2 ,

где M - масса всей системы;

  v_C - скорость центра масс системы;

  m_k - масса k-й точки системы;

  v_kr - относительная скорость k-й точки при движении её вокруг центра масс (т.е. v_k= v_C + v_kr).

Из этой формулы можно получить следующие частные случаи для твёрдого тела:

- при поступательном движении тела v_k= v_C , v_kr= 0,

T =  mv_C² / 2;

- при вращении тела вокруг оси, проходящей через его центр масс,

v_C=0 , v_kr= ω * r_k,

T = ∑ m_kv_kr² / 2 = Jω²/2  ,

где J - момент инерции тела относительно оси, проходящей в данный момент времени через центр масс;

ω - угловая скорость вращения тела;

- в случае произвольного движения тела (например при плоскопараллельном движении)

 T =  mv_C² / 2 + Jω²/2.

13. Теорема об изменении количества движения механической системы в диф. И интегральной форме. Следствия.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Для каждой точки системы можно записать основное уравнение динамики

по свойству внутренних сил

Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил

В проекциях на координатные оси

14. Момент инерции относительно оси. Радиус инерции. Формулы.

Проведем через произвольную точку О три взаимно перпендикулярные координатные оси x, y, z и представим тело как совокупность материальных точек (рис. 4.1). Моментом инерции твердого тела относительно оси (осевым моментом инерции) называют величину, равную сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от данной оси.

Обозначив моменты инерции тела относительно осей x, y, z через и опустив из точки перпендикуляры на эти оси, получим

;

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, например, оси z , можно представить в виде произведения массы тела на квадрат величины, называемой радиусом инерции тела относительно данной оси:

Таким образом, радиус инерции равен расстоянию от оси z до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции точки относительно этой оси был равен моменту инерции тела.