1. Способы задания движения точки

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета. 

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это и параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них  t.

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

2. Определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения.

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени  Δt:

тогда 

средняя скорость точки за промежуток времени t . Скорость точки в данный момент времени

Среднее ускорение  

характеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени  Δt . Ускорение точки в данный момент времени

3. Координатном

Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением

Из определения скорости

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени:

Модуль и направление скорости определяются выражениями

Из определения ускорения

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени

Модуль и направление ускорения определяются выражениями

4. Естественном

Из определения скорости точки

Где

- единичный вектор касательной, тогда

Алгебраическая скорость – это проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.

Из определения ускорения

поскольку τ - переменный по направлению вектор, то:

Производная

определяется только свойствами траектории в окрестности данной точки, при этом

n - единичный вектор главной нормали,

ρ   - радиус кривизны траектории в данной точке.

Таким образом,

т.е. вектор ускорения раскладывается на две составляющие - касательное и нормальное ускорения:

Здесь:

- алгебраическое значение касательного ускорения (проекция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение скорости по величине;

– нормальное ускорение (проекция вектора ускорения на главную нормаль) характеризует изменение скорости по направлению. Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и проекция ускорения на бинормаль равна нулю (a_b=0).

Движение точки ускоренное, если знаки проекций векторов скорости и ускорения на касательную совпадают.

5. Поступательное движение тела. Теорема о траекториях, скоростях, ускорениях точек тела. Уравнение поступательного движения.

Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.

Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин колеса обозрения относительно Земли и т.д. 

Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения точек тела одинаковы.

Доказательство. 

Если выбрать две точки твердого тела А  и В  (рисунок 1.2), то радиусы-векторы этих точек связаны соотношением

Траектория точки А  – это кривая, которая задается функцией r_A(t), а  траектория точки B – это кривая, которая задается функцией r_B(t). Траектория точки B получается переносом траектории точки A в пространстве вдоль вектора AB, который не меняет своей величины и направления во времени (AB = const). Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы.

Продифференцируем по времени выражение

Получаем

Продифференцируем по времени скорость и получим выражение a_B = a_A. Следовательно, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек: