10.15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Пусть f(x)  четная 2-периодическая функция. Тогда является нечетной, а  четной функцией. Следовательно, , . Согласно формулам  для коэффициентов ряда Фурье получаем

, , b_n = 0,

т.е. ряд Фурье для четной функции имеет вид

.

Аналогично, если f(x)  нечетная 2-периодическая функция, то  нечетная, а  четная функция. В этом случае имеем:

а₀ = 0, а_n = 0, ,

а ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

.

Таким образом, четная 2-периодическая функция разлагается в ряд Фурье только по косинусам, а нечетная 2-периодическая функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам.

Пример 10.15.1. Разложить в ряд Фурье 2-периодическую функцию , заданную на [, ].

Решение. Функция  четная, поэтому b_n = 0.

.

. Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

.

Так как функция кусочно-монотонна, ограничена и непрерывна, то это равенство выполняется во всех точках.

Полагая х =  в этом равенстве, получим

 

. Мы нашли сумму обобщенного гармонического ряда для р = 2, .

Полагая х = 0, получаем:

10.16. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на

Пусть f(x) есть периодическая функция с периодом , вообще говоря, отличным от 2. Разложим ее в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле

.

Тогда функция будет периодической функцией от t с периодом 2. Действительно,

.

Ее можно разложить в ряд Фурье на [-p, p]:

,

где

, , .

Вернемся теперь к старой переменной х:

, , .

Тогда будем иметь

, , ,

а формула примет вид

.

Если f(x)  четная функция, то

b_n = 0, , ;

если же f(x)  нечетная функция, то

а₀ = 0, а_n = 0, .

Пример 10.16.1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом , которая на задается равенством .

Решение. Все условия теоремы Дирихле выполняются. Так как функция четная, то b_n = 0,

,

.

Следовательно,

.

Пусть х = 0,  .

10.17. О разложении в ряд Фурье непериодических функций

Пусть функция f(x) задана на [0, p]. Чтобы разложить f(x) на этом отрезке в ряд Фурье, доопределим ее на отрезке [p, 0]. В результате получим функцию, заданную на всем отрезке [p, p], которую уже можно разложить в ряд Фурье. Ясно, что получившийся ряд будет зависеть от характера продолжения первоначальной функции на [p, 0]. Рассмотрим два возможных случая.

1. Если продолжить (доопределить) f(x) четным образом с отрезка [0, p] на отрезок [p, 0] (рис.10.17.1), то получим четную функцию, которая, как известно, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам.

2. А налогично, продолжая f(x) нечетным образом с отрезка [0, p] на отрезок [p, 0] (рис.10.17.2), то получим нечетную функцию, разлагающуюся в ряд Фурье только по синусам.