10.10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
Теорема 10.10.1. Степенной ряд
мажорируем на любом отрезке [-, ], целиком лежащем внутри его интервала сходимости (-R, R).
Доказательство. По условию < R, а потому числовой ряд (с положительными членами)
сходится. Но при
члены ряда по абсолютной величине не
больше соответствующих членов ряда
. Следовательно, ряд мажорируем на
[-,
].
Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.
Следствие 2. Если пределы интегрирования и лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда, так как область интегрирования можно заключить в [-, ], где ряд мажорируем.
Следствие 3. Если степенной ряд
(10.10.1)
имеет интервал сходимости (-R, R), то ряд
,
полученный почленным дифференцированием ряда , имеет тот же интервал сходимости (-R, R), при этом
,
если
.
Ряд снова можно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз, при этом интервал сходимости не изменяется.
10.11. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора
Определение 10.11.1. Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки а имеет производные всех порядков. Степенной ряд по степеням (х а)
называется рядом Тейлора функции f(x) в точке а. Если а = 0, то ряд
называется рядом
Маклорена.
Эти ряды широко
используются для получения приближения
f(x)
в окрестности точки х
= а. Заметим,
что ряд , составленный для функции
f(x),
может расходиться или сходиться не к
функции f(x).
Например, функция
в точке а=0
имеет производные всех порядков, равные
нулю. Поэтому ее ряд Маклорена имеет
вид 0+0х+0х2+…,
который сходится, но не к нашей функции
f(x),
не равной нулю ни в какой точке х
0.
Представляет интерес тот случай, когда ряд Тейлора функции f(x) сходится к f(x) в некоторой окрестности точки а.
Из ряда Тейлора следует, что его n-й частичной суммой является многочлен Тейлора
.
Отсюда, если ряд Тейлора сходится к функции f(x), справедливо равенство
,
где – остаток ряда. Для сходимости ряда Тейлора к функции f(x) необходимо и достаточно выполнения условия
,
где х принадлежит некоторой окрестности точки а.
Разложим функцию по формуле Тейлора:
,
где остаточный член представим одним из следующих видов:
– форма Лагранжа
(С
находится между а
и х,
0 <
<1);
– форма Пеано.
Из формулы и
равенств и
вытекает, что остаток ряда Тейлора
равен остаточному члену формулы Тейлора
,
т.е.
,
при выполнении условия .
Итак, если ряд Тейлора функции f(x), для которой он составлен, сходится в окрестности точки х = 0 к этой функции, то имеет место равенство
Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет именно данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-либо иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции.