10.5. Признаки Даламбера и Коши
Рассмотрим еще три достаточных признака для исследования числовых рядов с положительными членами.
Теорема 10.5.1 (признак Даламбера). Если в ряде
отношение (n+1)-го члена к n-му при n имеет конечный предел
,
то 1) ряд сходится, если р < 1;
2) ряд расходится, если р > 1.
(В случае р = 1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает, нужны дополнительные исследования.)
Доказательство.
1) Пусть р < 1. Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению р < q < 1.
Из определения
предела следует, что
,
что для всех
будет иметь место
.
Запишем это неравенство для различных
значений n,
начиная с номера N.
Рассмотрим теперь три ряда
(исходный ряд)
Ряд есть сумма геометрической прогрессии с q < 1, следовательно, он сходится. Члены ряда меньше соответствующих членов ряда ввиду выполнения неравенств , поэтому он сходится.
Но ряд получается добавлением к сходящемуся ряду конечного числа членов (N 1), поэтому он тоже сходится.
2) Пусть р
> 1. Тогда
из равенства
(где р >
1) следует, что, начиная с некоторого
номера N,
т.е. для
.
для всех
.
Но это означает, что члены ряда возрастают,
начиная с номера N
+1, и поэтому
общий член ряда не стремится к нулю.
Следовательно, ряд расходится.
Замечание
10.5.1. Ряд
будет расходиться и в том случае, когда
р =
.
Это следует из того, что если
,
то, начиная с некоторого номера n
= N,
будет иметь место неравенство
,
или
.
Пример 10.5.1. Исследовать сходимость ряда
Решение. Здесь
,
.
Следовательно,
.
Ряд сходится.
Пример
10.5.2. Исследовать
сходимость ряда
.
Решение. 
.
Ряд расходится.
Замечание
10.5.2. Если
р =
1, но отношение
для всех номеров n,
начиная с некоторого, больше единицы,
то ряд расходится. Это следует из того,
что если
>1,
то
и общий член не стремится к нулю, когда
n
.
Пример 10.5.3. Исследовать сходимость ряда
Решение.
.
В данном случае
ряд расходится, так как
>1
для всех п:
.
Теорема
10.5.2 (радикальный
признак Коши). Если для ряда с положительными
членами
существует конечный предел
,
то
если р < 1, ряд сходится;
если р > 1, ряд расходится.
Как и в признаке Даламбера, случай р = 1 требует дополнительного исследования.
Доказательство практически ничем не отличается от доказательства теоремы 10.5.1, поэтому его приводить не будем.
Пример 10.5.4. Исследовать сходимость ряда
Решение. Применим радикальный признак Коши:
.
Ряд сходится.
Теорема
10.5.3 (интегральный
признак Коши). Пусть члены ряда
имеют вид
,
где f(x)
– неотрицательная монотонно убывающая
функция на промежутке
,
а
1.. Тогда ряд
сходится (расходится) тогда и только
тогда, когда сходится (расходится)
несобственный интеграл
.
Пример
10.5.5. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Положим
.
Функция f(x)
непрерывна и монотонно убывает на
.
Так как несобственный интеграл
,
т.е. расходится, то в соответствии с интегральным признаком Коши расходится и заданный ряд.
Пример 10.5.6. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы 10.5.3. Рассмотрим несобственный интеграл
.
Рассмотрим три случая:
пусть р > 1 р-1 > 0, тогда
,
т.е
интеграл конечен и, следовательно, ряд сходится.
пусть р < 1 1-р > 0 и
,
т.е.
интеграл расходится и, следовательно, ряд расходится.
если р = 1, рассматриваем
,
ряд расходится.
Таким образом, ряд Дирихле сходится, если р > 1, и расходится, если р 1.
Заметим, что ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не решают вопрос о сходимости этого ряда, так как соответствующие пределы равны 1.
Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), а также ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, часто используются как «эталонные» ряды при применении обоих признаков сравнения.