- •Учебный модуль №10 «ряды» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Ряды» «Важные сведения из пределов»
- •Ряды «эталоны»
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды
- •Ряд Фурье
- •10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда
- •10.2. Простейшие свойства числовых рядов
- •10.3. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд
- •10.4. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения
- •10.5. Признаки Даламбера и Коши
- •10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •10.7. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
- •10.8. Функциональные ряды. Область сходимости
- •10.9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенных рядов
- •10.10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •10.11. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •10.12. Разложение по степеням х функций
- •10.13. Приложение рядов к приближенным вычислениям
- •10.14. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье
- •10.15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •10.16. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на
- •10.17. О разложении в ряд Фурье непериодических функций
- •Вопросы к экзамену по модулю №10
10.14. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье
Функциональный ряд вида
или ряд вида
,
называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа , называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом 2, так как и cos nx являются периодическими функциями с периодом 2.
Пусть периодическая с периодом 2 функция f(x) такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-, ), т.е. является суммой этого ряда
.
Предположим, что интеграл от функции f(x) равняется сумме интегралов от членов ряда. Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд
сходится. Тогда ряд мажорируем и, следовательно, его можно интегрировать в промежутке (-, ). Используем это для вычисления коэффициента а0.
Проинтегрируем обе части равенства в пределах от до :
.
,
, так как для любого n=1, 2, … .
, так как .
Следовательно, , откуда
.
Неизвестные коэффициенты an и bn можно найти по следующим формулам (вывод этих формул можно найти в любом учебнике по высшей математике)
,
.
Коэффициенты, определенные по формулам - , называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(x).
Выясним, далее, вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и чтобы сумма этого ряда равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?
Определение 10.14.1. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1, х2, …, хn-1 на интервалы (а, х1), (х1, х2), …, (хn-1, b), в каждом из которых функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.
Из этого определения следует, что если функция f(x) кусочно-монотонная и ограниченная на [a, b], то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если х = С есть точка разрыва функции f(x), то в силу ее монотонности и ограниченности существуют конечные пределы , .
Замечание. В некоторых учебниках функцию f(x), определенную на [a, b], называют кусочно-гладкой (кусочно-дифференцируемой), если она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва, и притом лишь первого рода, т.е. если функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она кусочно-гладкая.
Сформулируем теперь следующую теорему.
Теорема 10.14.1 (Дирихле). Если периодическая функция с периодом 2 кусочно-монотонная и ограниченная на [, ], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) слева и справа, т.е., если х = С – точка разрыва первого рода функции f(x), то
.
Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных разделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и ее приложениях к конкретным задачам механики и физики.
Рассмотрим пример разложения функции в ряд Фурье.
Пример 10.14.1. Периодическая с периодом 2 функция
Очевидно, что функция кусочно-монотонная и ограниченная, т.е. удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле.
Определим коэффициенты Фурье:
;
.
.
Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид:
.
В точках разрыва сумма ряда
.
Полагая в полученном равенстве х=0, получаем
, откуда
.
Ранее мы доказывали, что такой числовой ряд сходится (его можно считать обобщенным гармоническим рядом, где ), а сейчас при помощи ряда Фурье нашли его сумму .
Так как по предположению f(x) 2-периодическая функция, то отрезок интегрирования [, ] в формулах может быть заменен произвольным отрезком [а, а+2] длиной 2. Тогда коэффициенты Фурье могут быть вычислены по формулам:
,
,
.