Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Витебский государственный университет им. П. М. Машерова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ №10.doc

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2019

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

10.8. Функциональные ряды. Область сходимости

Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от х.

Рассмотрим функциональный ряд

Давая х определенные числовые значения, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Определение 10.8.1. Совокупность тех значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через S(x).

Пример 10.8.1. Рассмотрим функциональный ряд

Этот ряд сходится для всех значений х в интервале (-1, 1), так как он составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем q = x , его сумма , т.е. . Таким образом

Обозначим через S_n (x) сумму первых n членов ряда . Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то

где – остаток ряда. Очевидно,

Для всех значений х из области сходимости ряда имеет место соотношение , поэтому

т.е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при n  .

Определение 10.8.2. Функциональный ряд

(10.8.1)

называется мажорируемым в некоторой его области изменения, если  такой сходящийся числовой ряд

с положительными членами, что для всех значений х из данной области выполняются соотношения

Например, ряд является мажорируемым на (-, ). Действительно, для  х выполняется соотношение (так как )

(n = 1, 2, …),

а ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), так как р = 2 > 1.

Непосредственно из определения следует, что ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках этой области.

Пусть имеем ряд из непрерывных функций

сходящийся на некотором [a, b].

Как известно, сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Для суммы ряда, состоящего из бесконечного числа слагаемых, это свойство не сохраняется. Для мажорируемых рядов справедлива следующая теорема.

Теорема 10.8.1. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемых на [a, b], есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Мажорируемые ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать, об этом подробнее в следующем разделе.

10.9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенных рядов

Функциональный ряд вида

или вида

членами которых являются степенные функции, называется степенным. Действительные числа C_n называются коэффициентами степенного ряда. Степенной ряд всегда сходится, по крайней мере, при х = 0, а ряд при х = а. Ряд называют рядом по степеням х, а ряд – по степеням (х - а). Так как заменой х – а = Х ряд приводится к виду , то в дальнейшем будем рассматривать степенные ряды .

Теорема 10.9.1 (теорема Абеля).

Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении х, удовлетворяющему неравенству ;
если ряд расходится при некотором значении х₁, то он расходится при всяком х, для которого .

Доказательство. Так как по условию числовой ряд

сходится, то из необходимого признака сходимости следует, что его общий член при n ® ¥, а это значит, что  М > 0, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М, т.е. для всех n = 0, 1, 2, …

Перепишем ряд в виде

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

Последний ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем и, следовательно, сходится, когда q < 1, т.е. для .

Тогда по первому признаку сравнения ряд тоже сходится, а это значит, что ряд или сходится абсолютно.

Пусть теперь ряд расходится в точке х₁. Предположим, что в некоторой точке х₂, такой, что , ряд сходится. Тогда по только что доказанному он должен сходиться и в точке х₁, что противоречит условию. Значит, для всех х, таких, что , ряд расходится.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Т еорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если х₀ есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости (из  ). Если же х₁  точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки  состоят из точек расходимости (из  , ).

Из этого можно заключить, что  такое число R, что при (-R < x < R) мы имеем точки абсолютной сходимости, а при (x <-R, x > R) – точки расходимости.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.9.2. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение 10.9.1. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал (R, R), что для всех точек х, лежащих внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

На концах интервала (т.е. при х = R и при х = R) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Замечание 10.9.1. Интервалом сходимости ряда по степеням (х  а) является интервал (а  R, а + R) с центром в точке а, так как из  .

Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть имеем ряд

(10.9.1)

Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов

Для определения сходимости этого ряда (с положительными членами!) применим признак Даламбера.

где . Тогда ряд сходится, если р < 1, т.е

 , и расходится, если р > 1, т.е.  . Следовательно, ряд (10.9.1) сходится абсолютно при . Если же , то , и ряд расходится, причем его общий член не стремится к нулю. Но тогда и общий член ряда (10.9.1) не стремится к нулю, а это означает, что этот степенной ряд расходится (при ).

Из предыдущего следует, что интервал есть интервал сходимости степенного ряда (10.9.1), т.е.

Аналогичным образом, используя радикальный признак Коши, можно получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости.

Отметим, что в обеих формулах С_n – коэффициент при хⁿ, а не общий член ряда .

Пример 10.9.1. Определить область сходимости ряда

Решение: Рассмотрим ряд из абсолютных величин:

, . Тогда . Таким образом, интервал сходимости . Исследуем сходимость на концах интервала. При получается ряд:

 или

, который расходится, как гармонический ряд.

Пусть, далее , тогда из данного степенного ряда получаем знакочередующийся ряд  , который сходится по теореме Лейбница. Ряд абсолютных величин , как известно, расходится.

Ответ: – при ряд условно сходится.

Пример 10.9.2. Определить область сходимости ряда

Решение: , .

. Таким образом, (, +) – область сходимости.

Пример 10.9.3. Определить область сходимости ряда

Решение:  . Применим формулу . Значит, ряд расходится при всех значениях х, кроме х = 0.

Замечание 10.9.2. Если имеется ряд не по степеням , а, например, по степеням , и т.д., то формулы для нахождения радиуса сходимости R применять нельзя, а нужно рассмотреть ряд из абсолютных величин соответствующих членов и применить сам признак Даламбера или признак Коши.