Решение слау методом простой итерации

Постановка задачи. Дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными

(7)

где - элементы матрицы системы; - свободные коэффициенты; - неизвестные корни системы; Требуется с заданной допустимой погрешностью найти приближенное решение системы (7):

Пусть диагональные элементы матрицы системы (7) отличны от нуля и для матрицы выполняются условия диагонального преобладания

(8)

причем хотя бы для одного неравенство (8) строгое. Условия (8) являются достаточными условиями применимости метода простой итерации.

Тогда решение системы (7) находится как предел последовательности , вычисляемой по правилу:

(9)

В методе простой итерации для расчета нового приближения используется вектор старого приближения.

Система (7) считается решенной с заданной точностью если справедливы следующие соотношения:

(10)

Выполнение условий (10) обычно принимается за критерий окончания итерационного процесса поиска решения. Метод простой итерации эффективен для решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей ленточного типа.

Пример 4. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом простой итерации, принимая допустимую погрешность вычислений равной 0,01.

(11)

Решение. Приведем систему (11) к виду, удобному для проведения итераций. Для этого каждое уравнение системы разрешаем относительно , т.е. из первого уравнения выражаем в явном виде , из второго - и т.д.

(12)

Зададим начальное приближенное решение системы, т.е. начальное приближение. Обычно в качестве начального приближения берется столбец свободных коэффициентов системы (12), т.е.

(13)

Вычисляем первое приближение по формулам (12), подставляя в них начальное приближение (13).

(14)

Сравниваем первое и начальное приближения:

Требуемая точность вычислений еще не достигнута, т.е. необходимо продолжать вычислять следующие приближения.

Вычисляем второе приближение по формулам (12), подставляя в них первое приближение (14).

(15)

Сравниваем второе и первое приближения:

Процесс следует продолжить, так как погрешность вычислений превышает допустимую. Организуем процесс вычислений в ЭТ. Размещение информации и результаты решения приведены в таблице 6, расчетные формулы - в таблице 7,. Результаты ручного расчета являются контрольными.

Таблица 6. Размещение информации и результаты расчета

Таблица 7. Расчетные формулы

Адрес ячейки	Расчетные формулы
A7	=e3/a3
B7	=e4/b4
C7	=e5/c5
A8	=($e$3-$b$3*b7-$c$3*c7)/$a$3
B8	=($e$4-$a$4*a7-$c$4*c7)/$b$4
C8	=($e$5-$a$5*a7-$b$5*b7)/$c$5
D8	=МАКС(abs(a8-a7);abs(b8-b7);abs(c8-c7))
E8	=ЕСЛИ(d8<=0,01;”da”;”net”)

Анализ результатов расчета. Расчет в электронных таблицах выполнен правильно, так как его результаты соответствуют результатам контрольного счета. Точное решение системы линейных алгебраических уравнений (см. таблицу 6):