Работа 2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Цель работы: Освоить методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и компьютерные технологии их реализации.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Записать системы линейных алгебраических уравнений своего варианта.

2. Изучить метод Гаусса решения СЛАУ.

3. Подготовить размещение информации на рабочем листе ЭТ для реализации метода Гаусса.

4. Получить решение на компьютере и занести результаты в соответствующие ячейки размещения информации (пункт 3).

5. Представить СЛАУ в матричной форме и получить формулу ее решения матричным методом.

6. Подготовить размещение информации на рабочем листе ЭТ для реализации матричного метода.

7. Получить решение на компьютере и занести результаты в соответствующие ячейки размещения информации (пункт 6).

8. Подготовить размещение информации на рабочем листе ЭТ для решения заданой системы линейных алгебраических уравнений с помощью надстройки «Поиск решения».

9. Получить решение на компьютере и занести результаты в соответствующие ячейки размещения информации (пункт 8).

10. Решить СЛАУ методами простой итерации и Зейделя.

11. Выполнить анализ полученных решений.

12. Оформить и защитить отчет

Краткие сведения из теории и компьютерной технологии

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разбиваются на две группы. К первой группе относятся прямые или точные методы, алгоритмы которых позволяют получить решение системы за конечное число арифметических действий. Метод Гаусса относится к точным методам. Вторую группу составляют приближенные или итерационные методы. К этой группе относятся методы простой итерации и Зейделя.

Наличие в приложении Excel матричных функций (мастер функций) и надстройки «Поиск решения» позволяет значительно упростить технологию и ускорить процесс получения решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Гаусса решения слау

Метод Гаусса применяется к решению систем общего вида с плотно заполненной матрицей. Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных путем приведения системы к треугольному виду (прямой ход) и последующего решения полученной системы, начиная с последнего уравнения с одним неизвестным (обратный ход). Метод Гаусса неприменим, если на главной диагонали оказывается нулевой элемент. В этом случае необходимо предварительно переставить (поменять местами) уравнения. Устойчивость метода снижается, если на главной диагонали расположен близкий к нулю элемент, что приводит к значительной погрешности. Избежать этого можно также перестановкой уравнений.

Для контроля результатов расчета необходимо найти невязки, т.е. разности между левой и правой частью каждого уравнения:

или в развернутом виде:

(1)

, (2)

где - найденные значения неизвестных; - свободные коэффициенты; - элементы матрицы системы; - невязки.

Решение СЛАУ методом Гаусса удобно реализовать в приложении Excel, используя пошаговое программирование.

Пример 1. Решить заданную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

(3)

Размещение информации на рабочем листе ЭТ в рассматриваемом случае (т.е. системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными) может выполняться, как показано в таблице 1.

Таблица 1. Размещение информации на рабочем листе ЭТ

		A	B		C	D	E	F
1		i/j	1		2	3	4	B
2		1	1		1	-1	1	-4
3		2	1		-1	1	2	0
4		3	3		2	-1	5	-8
5		4	2		-3	-1	3	-15
6		Прямой ход
7		k=1
8			=B2/$B$2					
9			=B3-B8*$B3					
10			=B4-B8*$B4					
11			=B5-B8*$B5					
12		k=2
13			=B8					
14					=C9/$C$9			
15					=C10-C14*$C10			
16					=C11-C14*$C11			
17		k=3
18			=B13					
19					=C14			
20						=D15/$D$15		
21						=D16-D20*$D16		
	22		A	B
	23		Обратный ход
	24		x4=	=F21/E21
	25		x3=	=F20-E20*B24
	26		x2=	=F19-E19*B24-D19*B25
	27		x1=	=F18-E18*B24-D18*B25-C18*B26
	28
	29		Невязки
	30		r1=	=F2-(B2*$B$27+C2*$B$26+D2*$B$25+E2*$B$24)
	31		r2=	
	32		r3=	
	33		r4=	

Как видно из таблицы 1, элементы матрицы системы (3) расположены в диапазоне ячеек B2:E5, свободные коэффициенты - в диапазоне F2:F5. Для приведения системы (3) к треугольному виду необходимо в соответствующие ячейки ввести формулы и скопировать их в нужном направлении ( - вниз и  - вправо). Значения вычисляются по формулам, которые следует ввести в диапазон ячеек B24:B27. В ячейку B30 вводится формула для вычисления невязки , которая копируется в диапазон ячеек B31:B33.

Результаты решения системы (3) методом Гаусса приведены в таблицах 2 и 3.

Таблица 2. Прямой ход метода Гаусса

Таблица 3. Обратный ход метода Гаусса

Анализ результатов. В результате решения получены следующие значения корней заданной системы уравнений: Невязки равны нулю, следовательно, требуемая точность расчета достигнута.