Матричный метод решения слау

Систему (1) можно записать в матричной форме

(4)

где

Если определитель системы не равен нулю, систему (4) можно решить матричным методом:

(5)

где - матрица, обратная по отношению к матрице

Уравнение (5) определяет алгоритм матричного метода решения систем линейных алгебраических уравнений:

• Ввести исходные данные (элементы матриц

• Используя матричную функцию МОБР мастера функций ЭТ, получить обратную матрицу ;

• Получить решение системы уравнений, умножая матрицу на матрицу с помощью матричной функции МУМНОЖ мастера функций.

Пример 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений (3), заданную в примере 1, матричным методом.

Здесь матрицы и имеют вид:

Чтобы использовать матричные функции для решения этой задачи, необходимо предварительно выбрать на рабочем листе ЭТ ячейки, в которых будут размещены исходные данные и результаты решения задачи (таблица 4).

Таблица 4. Результаты решения

Как видно из таблицы 4, исходные данные расположены следующим образом: элементы матрицы - в диапазоне ячеек ; элементы матрицы - в диапазоне ячеек . Для размещения элементов обратной матрицы - выделен диапазон ячеек , для корней системы - диапазон ячеек .

В результате решения получили следующие значения корней заданной системы уравнений:

Технология работы с матричными функциями

1. Выделить смежный диапазон ячеек для размещения элементов обратной матрицы (в данном случае диапазон ).

2. Щелкнуть в строке формул и на кнопке мастера функций панели инструментов Стандартная. Откроется диалоговое окно мастера функций.

3. В диалоговом окне выбрать категорию Математические, в списке функций - функцию МОБР (вычисление обратной матрицы) и щелкнуть ОК. Откроется диалоговое окно функции МОБР.

4. В поле Массив ввести диапазон ячеек, занимаемых элементами матрицы т.е.

5. Для фиксации результатов (элементов обратной матрицы) в выделенном диапазоне ячеек выполнить совместное нажатие клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Технология работы с функцией МУМНОЖ (умножение матриц) аналогична:

1. Выделить смежный диапазон ячеек для размещения корней системы уравнений (в данном случае диапазон ).

2. Щелкнуть в строке формул и на кнопке мастера функций. Откроется диалоговое окно мастера функций.

3. В диалоговом окне выбрать категорию Математические, в списке функций - функцию МУМНОЖ и ОК. Откроется диалоговое окно функции МУМНОЖ.

4. В поле Массив 1 ввести диапазон ячеек, занимаемых элементами обратной матрицы , т.е. .

5. В поле Массив 2 ввести диапазон ячеек, занимаемых элементами матрицы , т.е. .

6. Для фиксации результатов (корней системы) в выделенном диапазоне ячеек выполнить совместное нажатие клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Методика решения слау с помощью надстройки «Поиск решения»

В основу методики заложено допущение, что уравнения системы (1) являются ограничениями в математической модели задачи оптимизации, постановка которой формулируется следующим образом: найти значения переменных , которые удовлетворяют ограничениям

и доставляют минимум целевой функции

. (6)

Корни системы могут принимать любые значения, поэтому граничные условия отсутствуют. Как видно из (6), в качестве целевой функции принимается сумма квадратов разностей левой и правой частей уравнений системы, т.е. невязок (2).

Пример 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений (3), заданную в примере 1, с помощью надстройки «Поиск решения».

Для рассматриваемого примера имеем:

• ограничения

• целевая функция

Размещение информации на рабочем листе ЭТ представлено в таблице 5. Коэффициенты системы размещены в диапазоне ячеек , свободные коэффициенты (правая часть уравнений) - в ячейках . Для корней системы отведены ячейки (до применения метода оптимизации они будут пустыми). В терминах надстройки «Поиск решения» эти ячейки называются изменяемыми ячейками. В ячейки вводятся формулы расчета левых частей уравнений системы. Причем вводится формула для расчета левой части только первого уравнения: =СУММПРОИЗВ(A4:D4;$A$2:$D$2), а затем она копируется в диапазон ячеек . Для целевой функции отведена ячейка (целевая ячейка). В эту ячейку вводится формула: =СУММКВРАЗН(G4:G7;F4:F7).

Чтобы начать работу с надстройкой «Поиск решения», следует установить курсор на ячейку, в которую записана формула целевой функции, и выбрать в меню Сервис команду Поиск решения. Откроется окно диалога Поиск решения (рис.1).

В этом окне необходимо указать цель, изменяемые ячейки и ограничения:

Таблица 5. Размещение информации и результаты расчета

• В поле Установить целевую ячейку задается цель, которую должен достичь поиск решения. В данном примере - минимизировать сумму квадратов разностей левой и правой частей уравнений системы (значение в ячейке ), поэтому в это поле надо ввести и установить переключатель Равной в положение Минимальному значению.

• В поле Изменяя ячейки задать изменяемые ячейки. В рассматриваемом примере это ячейки диапазона .

Рис.1. Окно диалога Поиск решения

• Перейти к вводу ограничений, щелкнув на кнопке Добавить.

• Откроется окно диалога Добавление ограничения (рис.2). В поле Ссылка на ячейку ввести адреса ячеек левой части ограничений (в данном случае ). В поле переключателя ввести требуемый знак ограничения (в рассматриваемом примере знак =). В поле Ограничение ввести адреса ячеек правой части ограничений (т.е. ).

• Щелкнуть на кнопке OK. Откроется окно диалога Поиск решения.

Рис.2. Окно диалога Добавление ограничения

• Щелкнуть на кнопке Параметры. Откроется окно диалога Параметры поиска решения, в котором следует: снять флажки в полях Линейная модель и Неотрицательные значения (если они стоят), щелкнув по ним мышью; щелкнуть на кнопке . Откроется окно диалога Поиск решения.

• Щелкнуть на кнопке Выполнить. Откроется окно диалога Результаты поиска решения, в котором можно либо оставить эти значения на листе, если установить переключатель Сохранить найденные значения и нажать , либо восстановить значения, которые содержались на листе перед активизацией поиска решения, если нажать кнопку Отмена.

Полученные значения корней системы уравнений запишутся в ячейки , значение целевой функции в ячейку . Как и ожидалось, все методы дают одинаковый результат: