- •Введение
- •Методические вопросы лабораторного практикума
- •Методические вопросы контрольной работы
- •Содержание и объем контрольной работы
- •Теоретические вопросы контрольной работы
- •Алгоритм выбора задания контрольной работы
- •Содержание описательной части контрольной работы:
- •Оформление контрольной работы
- •Защита контрольной работы и сдача зачета
- •Методические указания к решению задач
- •Работа 1. Интерполяция и аппроксимация таблично заданных функций
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Краткие сведения из теории
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции с помощью надстройки «Поиск решения»
- •Технология подбора аппроксимирующей функции в среде эт путем построения линий тренда
- •Работа 2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Краткие сведения из теории и компьютерной технологии
- •Метод Гаусса решения слау
- •Матричный метод решения слау
- •Технология работы с матричными функциями
- •Методика решения слау с помощью надстройки «Поиск решения»
- •Решение слау методом простой итерации
- •Вычисляем первое приближение по формулам (12), подставляя в них начальное приближение (13).
- •Решение слау методом Зейделя
- •Итерационный процесс поиска решения системы завершается, если выполняются условия (10).
- •Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Методы Рунге-Кутта
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в среде электронных таблиц
- •Продолжение таблицы 9
- •Краткие сведения из теории
- •Задача оптимизации производственного плана предприятия
- •Математическая модель задачи
- •Математическая модель
- •Графический метод решения задачи лп
- •Решение задачи лп в среде электронных таблиц
- •Технология работы с надстройкой «Поиск решения»
- •Работа 5. Транспортная задача Цель работы. Освоить методику составления математической модели транспортной задачи и методы ее решения. Содержание и последовательность выполнения работы
- •Краткие сведения из теории
- •Математическая модель транспортной задачи
- •Виды моделей транспортной задачи
- •Математическая модель задачи
- •Методы решения транспортной задачи
- •Метод потенциалов
- •Алгоритм метода потенциалов
- •Решение транспортной задачи в среде эт
- •Задания Работа 1. Интерполяция и аппроксимация таблично заданных функций
- •Работа 2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Работа 3. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Работа 4. Задача оптимизации производственной программы выпуска продукции
- •Работа 5. Транспортная задача
- •Список рекомендуемой литературы
Методы Рунге-Кутта
Для получения более высокой точности необходимо добиться лучшей аппроксимации производной. Эта идея заложена в основу методов Рунге-Кутта, отличающихся друг от друга схемами расчета координат внутренних точек, в которых вычисляются значения производных. Так как существуют различные способы выбора расположения внутренних точек и относительных весов для найденных производных, методы Рунге-Кутта, по существу, объединяют целое семейство методов решения дифференциальных уравнений. Наиболее распространен метод, в котором удерживаются составляющие разложения решения в ряд Тейлора (2), включая содержащую Это метод четвертого порядка точности, для него погрешность вычислений на каждом шаге интегрирования имеет порядок Расчеты выполняются по формуле
(8)
По сравнению с методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет важное преимущество, так как обеспечивает более высокую точность, что позволяет увеличить шаг интегрирования и, следовательно, уменьшить количество вычислений. Все вычисления удобно выполнять в таблице 3.
Таблица 3.Табличный алгоритм метода Рунге-Кутта IV порядка точности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Методом Рунге-Кутта IV порядка точностинайти решение уравнения при начальном условии на отрезке [0; 0,2], приняв шаг интегрирования = 0,2.
Точное решение уравнения .
Решение. Результаты расчета представим в таблице 4.
Таблица 4. Итоговая таблица расчетов методом Рунге-Кутта
|
х |
|
|
|
|
|
0 |
0 0,1 0,1 0,2 |
1 1,1 1,09182 1,181728 |
1 0,9182 0,90864 0,843238 |
0,2 0,18364 0,181728 0,168647 |
0,2 0,36728 0,363456 0,168647 |
1 |
|
||||||
1 |
0,2 |
1,18323 |
… |
|
|
1,18322 |
Пояснения к таблице 4
При =0:
Записываем в первой строке
Вычисляем и заносим полученные значения в первую строку.
Записываем во второй строке
Вычисляем
В третью строку записываем
Определяем
Записываем в четвертой строке таблицы
определяем
В столбце записываем числа .
Определяем
Получаем
Значения и заносим в строку, отмеченную индексом =1, и проводим аналогичные вычисления.
Сравнивая с точным решением, находим, что абсолютная погрешность составляет = 0,00001. Заметим, что это достигнуто при интегрировании с шагом = 0,2. Следовательно, точность метода Рунге-Кутта IV порядка точности намного превышает точность методов Эйлера. Собственно, методы Эйлера могут рассматриваться как частные случаи метода Рунге-Кутта с первым и вторым порядком точности.
К важным преимуществам схем Рунге-Кутта, кроме хорошей точности, следует отнести возможность расчетов с переменным шагом, что особенно важно при расчетах на ЭВМ и реализовано во всех алгоритмах и стандартных программах метода.
В алгоритмах решения дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования оценка погрешности определяется по правилу Рунге: при переходе от к расчет производится дважды (с шагом и шагом ). Если при расчете точность окажется больше заданной погрешности , то шаг уменьшается вдвое и процедура повторяется. Если значительно меньше , то шаг увеличивается вдвое при переходе к точке . Шаг интегрирования не изменяется, если незначительно меньше .
где - порядок точности метода.
Как получить требуемую точность расчетов, если неизвестно точное решение дифференциального уравнения?
На практике обычно используют правило Рунге. Если есть численные решения на двух сетках с шагом т.е. то погрешность вычислений в точке равна:
где - порядок точности метода; - точное решение в точке .
Для оценки погрешности расчетов любым методом поступают следующим образом:
разбивают отрезок интегрирования на частей;
вычисляют приближенное решение дифференциального уравнения на сетке которое обозначают
затем вычисляют приближенное решение этого уравнения на сетке которое обозначают
окончательным приближенным решением дифференциального уравнения считают значения при этом погрешность решения в точке равна:
для метода Эйлера (порядок точности )
для модифицированного метода Эйлера (порядок точности )
для метода Рунге-Кутта (порядок точности )