2.7. Передаточные функции многоконтурных систем

К многоконтурным относятся САУ, в которых, помимо замкнутого контура с главной обратной связью, имеются контуры, образованные локальными  прямыми и об­ратными связями. Часть из них имеет естественную природу, а остальные  введены для придания системе нужных динамических характеристик. При этом часть из этих связей могут быть перекрестными (рис. 2.32).

В этом случае для определения передаточной функции системы, наряду с рассмотренными ранее, используют ряд дополнительных правил. К их числу относятся следующие: правила переноса сумматора через звено и точку разветвления (точку съема сигнала), правила переноса точки разветвления через звено и т.п. Все эти правила  достаточно очевидны и вытекают из условия сохранения неизменным сигнала на выходе структуры после  выполнения соответствующих преобразований.

Например, при переносе сумматора через звено по направлению сигнала (рис. 2.33), в структуру добавляется звено с передаточной функцией (р), при этом изображение выходного сигнала до и после преобразования одинаково:

(2.67)

что свидетельствует об эквивалентности исходной и преобразованной структур.

При переносе сумматора через звено против направления сигнала  (рис. 2 34)  в исходную структуру добавляется звено с передаточной функцией  . И в этом  случае сигнал на выходе структуры сохраняется неизменным и равным  (2.67).

На примере структуры, приведенной на рис. 2.35, а, проиллюстрировано правило переноса точки съема сигнала чрез звено по направлению сигнала (рис. 2.35, б) и в противоположном направлении (рис. 2.35, в)

Используя рассмотренные выше правила, структурную схему, приведенную на рис. 2.32,  можно преобразовать к виду, в котором перекрестные связи отсутствуют (рис. 2.36, а).

Передаточные функции  звеньев, входящих в преобразованную структуру системы, приведенную на рис. 2.36, б:

; ;

Передаточная функция замкнутой системы:

Ф(р) =  .

Вопросы для самопроверки

1.      Является ли блок умножения двух сигналов линейным звеном? В случае отрицательного ответа приведите линеаризованное описание этого звена в отклонениях.

2.      Сформулируйте основные теоремы преобразования Лапласа.

3.      Дайте определение передаточной функции САУ.

4.      Как передаточная функция линейной системы зависит от входного сигнала?

5.      Как определяются нули и полюса передаточной функции системы? Чему равен порядок передаточной функции системы?

6.      6.С чем связана  физическая реализуемость САУ?

7.      Какие системы являются минимально-фазовыми?

8.      Что называется переходной функцией системы? Как переходная функция связана с функцией веса системы?

9.      Как связаны между собой передаточная функция и функция веса системы?

10.  Что описывают частотные характеристики САУ?

11.  Как связаны передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика линейной системы?

12.  Назовите основные виды соединения звеньев в САУ?

13.       Чему равна передаточная функция замкнутой системы в разомкнутом состоянии?

14.  Дайте определение передаточной функции замкнутой системы по ошибке.

3. Анализ устойчивости линейных сау

3.1. Понятие устойчивости линейных систем

Устойчивость – это свойство САУ возвращаться в состояния покоя или установившегося  движения, из которого  система  была выведена каким-либо воздействием после устранения этого воздействия.

Обычно понятие  устойчивости иллюстрируется следующими примерами. Будем считать системой некоторый шар, который может находиться в одном из трех состояний:

1)      если шар находится на вогнутой поверхности (рис. 3.1, а), то при наличии силыF, соответствующей внешнему воздействию на систему, шар можно вывести из состояния покоя. Если теперь устранить  воздействиеF, то шар после совершения нескольких колебаний около точки равновесияАпридет в установившееся состояние (или состояние покоя), соответствующее точкеА. Это пример устойчивого равновесия – система является устойчивой;

2)      если к шару, находящемуся на выпуклой поверхности (рис. 3.1, б), приложена силаF, то, отклонившись под воздействием этой силы в точкуB, шар после прекращения воздействия силы не придет в установившееся положение (в точкуА). Такое состояние является неустойчивым;

3)      если шар находится на шероховатой ровной поверхности (рис. 3.1, в) и к нему приложена силаF, то шар выйдет из состояния равновесия и после снятия воздействия придет в новое состояние равновесия. В зависимости от величины и знака силыFшар может иметь бесчисленное множество точек равновесия. Такое состояние носит названиенейтрально-устойчивого, т.е. система является нейтрально-устойчивой.

На рис. 3.2 приведены типичные кривые монотонных (1) и колебательных (2) переходных процессов в неустойчивых (рис. 3.2, а) и устойчивых (рис. 3.2, б) системах.

Исследование устойчивости САУ имеет огромное значение, так как САУ в замкнутом виде обычно склонны к неустойчивой работе.

Устойчивость линейной системы определяется ее параметрами и не зависит от внешних воздейст­вий. Процессы в САУ описываются неоднородным дифференци­альным уравнением  (2.5),  общее решение которого состоит из двух составля­ющих:

x_вых(t) = x_{вых(вын)}(t) + x_вых(св)(t).                                        (3.1)

Здесь  x_{вых(вын)}(t) – частное решение уравнения  (2.5), определяемое приложенным к системе внешним воздействием, вследствие чегоx_{вых(вын)}(t) называетсявынужденной составляющей;x_вых(св)(t)  – общее решение соответствующего уравнению  (2.5) однородного дифференци­ального уравнения

,                              (3.2)

т.е. дифференциального уравнения, правая часть которого равна нулю, следовательно, равны нулю внешнее воздействие x_вх(t) и все ее производные.

Поскольку  только x_вых(св)(t) описывает поведение САУ после устранения внешнего воздействия, эту составляющую в выражении (3.1) называют свободной (переходной)  составляющей.

Очевидно, что линейная система устойчива, если свободная  составляющая с течением времени затухает, т.е.

Х_вых(св)(t) = 0.                                                    (3.3)

Общее решение однородного дифференциального уравнения (3.3) определяется  корнями соответствующего характеристического уравнения:

a_npⁿx_вых(p) +  a_(n-1)p^(n-1)x_вых(p) +…+ a₁px_вых(p) +  a₀x_вых(p) = 0,                 (3.4)

т.е. полюсами передаточной функции замкнутой системы.

Общее решение однородного  дифференциального уравнения равно:

,                                     (3.5)

гдеp_i– корень характеристического уравнения (полюс системы), ;C_i–  постоянная интегрирования.

Корни характеристического уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными (в том числе  нулевыми), а также попарно сопряженными комплексными или чисто мнимыми.

Если полюс  p_iвещественный и отрицательный, т.е.p_i< 0 (рис. 3.3, полюс ), то соответствующее ему слагаемое в выражении (3.5) с ростом времени стремится к нулю.

Если же p_i– вещественный положительный полюс, т.е.p_i> 0, (рис. 3.3, полюс ),то это слагаемое, а значит и вся свободная  составяляющая, неограниченно возрастает.

Паре комплексно-сопряженных полюсов 

p_i,i+1 = α_i + jβ_i ,

в свободной составляющей  соответствует слагаемое:

,

где   определяются через и

.

Такое слагаемое в выражении (3.5) стремится к ну­лю, если вещественные части комплексно-сопряженных полюсов отрицательны (рис. 3.3, полюса ), в противном случае (рис. 3.3, полюса ) амплитуда колебаний соответствующего слагаемого в свободной составляющей непрерывно возрастает.

Паре  мнимых полюсов p_i,i+1 = + jβ_i   (рис. 3.3, полюса ) в выражении (3.4) соответствует слагаемое:

A_i sin(β_it + ),

определяющее незатухающие колебания с постоянной амплитудой A_i.

Таким образом, для устойчивости системы САР необ­ходимо и достаточно, чтобы все корни характеристичес­кого уравнения на плоскости комплексного переменногобыли распо­ложены слева от мнимой оси (рис. 3.3, область устойчивости). Только при этом все слагаемые в выражении (3.5) будут стремиться к нулю.

Если корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости за исключение нескольких, располо­женных на мнимой оси, то система находится награни­це устойчивости.При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой ко­рень появляется, когда свободный член характеристиче­ского уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные, то система  нейтрально устойчива. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых кор­ней, границу устойчивости называют колебательной.

Определение устойчивости САУ по полюсам ее передаточной функции называют прямым методом оценки устойчивости. Однако для оценки устойчивости линейной системы не обязательно вычислять значения ее полюсов, т.е. решать алгебраическое уравнение (3.4)n-го порядка.  Достаточно знать,  все ли полюса находятся в левой полуплоскости комплексной плоскостир(являются «левыми»). Такой подход к определению устойчивости системы характерен длякосвенных методов оценки устойчивости (критериев устойчивости), позволяющих судить о расположении полюсов на плоскости комплексного переменного без их расчета.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. Отличие критериев друг от друга связано с использованием различных характеристик САУ, но при этом все они предполагают необходимость проверки необходимого идостаточного условия устойчивости.

Независимо от выбранного критерия устойчивости первоначально проверяется выполнение необходимого условия устойчивости,согласно которому все коэффициен­ты характеристического уравнения (3.4) должны быть положительными, т.е.

a_i > 0   при   i =1,…,n.                                             (3.6)

Будем полагать, что все полюса действительные. Тогда для доказательства необходимого условия устойчивости достаточно пред­ставить уравнение (3.4) в виде:

a_n(p – p₁) (p – p₂)………….. (p – p_n) =0 ,                                  (3.7)

где  p_i– полюс передаточной функции, (i = ).

Если система устойчива, т. е. все ее действительные полюса р_i отрицатель­ные, то, раскрыв скобки в выражении (3.7), получим уравнение с положительными коэффициентами. Если система неус­тойчива, т.е. хотя бы один из корней положительный, и, перемножив сомножители в выражении (3.7), получим уравнение с несколькими отрицательными коэффициентами.

Если необходимое условие не выполняется, делается заключение о том, что система неустойчива. В противном случае необходимо переходить к  проверке достаточного условия устойчивости, формулировка которого зависит от выбранного критерия устойчивости. В даль­нейшем будем полагать, что необходимое условие устой­чивости выполняется.