3.3. Частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста

Частотные критерии устойчивости основываются на использовании  принципа аргумента. Рассмотрим этот принцип, для чего характеристический полином замкнутой системы

(3.13)

в соответствие с теоремой Безу представим в виде:

F(p) = , (3.14)

где –  p_iполюс передаточной функции замкнутой системы ().

Поставляя в выражение (3.13) вместо pкомплексную переменнуюjω, получим:

. (3.15)

После аналогичной подстановки в выражение (3.14) получим:

F( jω) = .               (3.16)

Каждому сомножителю   в выражении (3.16) на комплексной плоскости соответствует некоторый вектор, положение которого меняется при измененииω.

Определим изменение аргумента комплексной функции F(jω)при изменении частотыω от  до . Для этого необходимо определить изменение аргумента  каждого из векторов , поскольку

F(jω)= ∑∆arg₍jω – p_i).

Если корень характеристического уравнения  p_i действительный и отрицательный, т.е. рас­положен на действительной оси слева от начала координат (рис. 3.4, а), то вектор поворачивается против часовой стрелки на угол π/2,если этот ко­рень действительный и положительный (рис. 3.4, б), то вектор  поворачивается по часовой стрелке на угол π/2. Следовательно, для левого действительного полюса

= π/2,

а для правого действительного полюса

 = – π/2,

Нетрудно показать, что для пары коплексно сопряженных левых полюсов (рис. 3.4, в) изменение аргумента составляет +π, а для пары коплексно сопряженных правых  полюсов (рис. 3.4, г) равно   -π.

Если среди nполюсов передаточной функции замкнутой системыmрасположены справа от мнимой оси, а остальные (n – m) – слева, то  изменение аргумента комплексной функцииF(jω)вектора равно:

F(jω)= (n – m)∙ π/2  –m∙π/2 = (n – 2m)∙π/2.                      (3.17)

Выражение (3.17) и определяет  суть принципа аргумента. В передаточной функции устойчи­вой системы правые полюса отсутствуют, т.е. m = 0,и изменение аргументаF(jω)равно:

F(jω)=n∙π/2.                                              (3.18)

 

Из выражения (3.18) следует критерий устойчивости Михайлова, согласно которому из­менение аргумента комплексной функцииF(jω)определяется по годографу, который записывают в виде

F(jω)=Х(ω) + jY(ω) ,

где Х(ω),Y(ω) – действительная и мнимая составляющие комплексной функцииF(jω);

Х(ω) = a₀ – a₂ω² +  a₄ω⁴ – a₆ω⁶ + ……;

Y(ω) = a₁ω – a₃ω³ +  a₅ω⁵ – a₇ω⁷ + …….

Каждому значениюω = ω_i на комплексной плоскости соответствует точка с координатами (Х(ω_i),Y(ω_i) ). При измененииω эта точка описывает на плоскости некоторую траекторию, которая называетсягодографом Михайлова(рис. 3.5).

При ω =0Х(0) =a₀,  Y(0)= 0, т.е.F(0) = a₀,  причем  в соответствии с выражением (3.6)a₀ > 0.

Формулировка критерия Михайлова: замкнутая система устойчива, если годографF(jω), начинаясь приω =0  на положительной дей­ствительной полуоси, при измененииω от 0  до обходит последовательно в положитель­ном направлении (против часовой стрелки)nквадрантов, гдеn– порядок системы.

Только в этом случае выполняется условие (3.18). На рис. 3.5, а,б, приведены примеры годографов для устойчивых и неустойчивых систем. Если годограф про­ходит через начало координат (рис.3.5, в), то система находится на границе устойчивости.

Из  формулировки критерия следует, что система устойчива,   если годограф Михайлова, начавшись на действительной оси при ω =0,  несколько раз последовательно пересекает действительную и мнимую ось. Значенияω, при которых происходят эти пересечения, являются корнями уравненияY(ω)= 0 (при пересечении с действительной осью) и  уравненияХ(ω) = 0 (при пересечении с мнимой осью). Следовательно, оценить устойчивость системы можно и без построения годографа: достаточно, чтобы  корни указанных уравнений чередовались друг с другом.

На практике более широ­кое применение, по сравнению с критерием Михайлова, нашел частотный критерий Найквиста, который позво­ляет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам этой системы в  разомкнутом состоянии.

Рассмотрим замкнутую систему с единичной обратной связью. Первоначально будем

полагать, что соответствующая ей разомкнутая система  устойчива.  Пусть передаточная функция этой системы в разомкнутом состоянии

W(p) =

имеет  n-й порядок, т.е. число ее полюсов (порядок полиномаA(р)) равноn. На основании принципа физической реализуемости можно утверждать, что число нулей передаточной функцииW(p) (порядок полиномаВ(р)) не превышает n. Передаточная функция системы в замкнутом состоянии:

Ф(р) =  =.

Введем в рассмотрение выражение:

D(p) =1 +W(p) = .                                    (3.19)

Очевидно, что число нулей и полюсов выражения D(p)одинаково и равноn. При этом числитель выражения (3.19) является характеристическим полиномом замкнутой системы, а знаменатель – характерис­тическим полиномом разомкнутой системы. Осуществим в выражении (3.19) заменуpнаjω:

D(jω) =(3.18)

и определим из­менение аргумента (3.20), полагая, что замкнутая система устойчива. Поскольку в этом случае в соответствии с принципом аргумента

В(jω)=n∙π/2            и  (А(jω) +  В(jω))=n∙π/2,

то 

D(jω) =  (А(jω) +  В(jω)) –  В(jω) =0.

Таким образом, если разомкнутая и замкнутая систе­мы устойчивы, то изменение аргумента D(jω) равно нулю, следовательно, годографD(jω) не охватывает начала координат (рис. 3.6, а).

В противном случае, когда годограф охватывает начало координат, изме­нение его аргумента не равно нулю и система в замкну­том состоянии неустойчива.

Очевидно, что об изменении аргумента вектора  удобнее судить  не по годографу D(jω) , а по годографу амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системыW(jω).ПосколькуD(jω) = 1 +W(jω), изменение аргументаD(jω) будет рав­но нулю, если годограф амплитудно-фазовой характе­ристики разомкнутой системы не охватывает точку с ко­ординатами (-1, j0) (рис. 3.6, б). 

Отсюда следует формулировка критерия Найквиста:  система,  устойчивая в разомкнутом состояние, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы не охва­тывает точку с координатами (-1, j0). В том случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку, система неустойчива.

Если САУ содержит  ν интегрирующих звеньев, то начальное значение фазочастотной характеристики разомкнутой системы равно (-ν∙π/2), а амплитудно-частотной – бесконечности.  Поэтому,

        если ν=1, характеристикаW(jω)приω →0 уходит в бесконечность вдоль отрицательной мнимой полуоси;

        если ν= 2  – вдоль отрицательной действительной полуоси;

        если ν = 3 – вдоль положительной мнимой полуоси. 

Для удобства оценки устойчивости таких астатических  систем годограф W(jω)дополняют дугой бесконечного радиуса, начинающейся на положительной действительной полуоси и проводимой до пересечения с годографомW(jω)(рис. 3.7). Формулировка критерия устойчивости при этом не изменяется.

Если годограф W(jω) разомкнутой системы проходят через точку (1, j0), то система в замкну­том состоянии находится на границе устойчивости.

Рассмотрим случай, когда  система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет m правых полюсов. Полагая, что при замыкании обратной связи система становится устойчивой, в соответствии с принципом аргумента получаем:

В(jω)= (n –2m)∙π/2            и  (А(jω) +  В(jω))=n∙π/2,

При этом изменение аргумента D(jω)равно:

D(jω) =  (А(jω) +  В(jω)) –  В(jω) =n∙π/2 – (n –2m)∙π/2 =m∙π = 2π∙m/2.

Следовательно, система в замк­нутом состоянии будет устойчивой, если годограф час­тотной характеристики D(jω) m/2 раз охватывает начало координат, а  соответственно годограф амплитудно-фазовой характе­ристики разомкнутой системы W(jω) m/2 раз охва­тывает точку с координатами (-1,j0), гдеm – число правых полюсов разомкнутой системы.

Годограф амплитудно-фазовой характеристикиW(jω) реальной технической системы может иметь достаточно сложную форму (рис. 3.8).

В этом случае  сложно определить, сколько раз годографW(jω) охватывает начало координат.  Задача упрощается, если ввести в рассмотрение понятиеперехода годографаW(jω) через действительную ось, т.е. пересечение графикомW(jω) действительной оси левее точки с координатами (-1,j0). Перехода годографаW(jω)через действительную ось считается положительным, если при увеличении частотыω пересечение оси происходит сверху вниз (годограф переходит из второго квадранта в третий), в противном случае переход считается отрицательным.

Обозначим число положительных переходов m₊ , а число отрицательных переходов  m_- . Тогда критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован так: система в замк­нутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равнаm/2, т.е.

m₊  –  m_- = m/2,                                                     (3.21)

где m – число правых полюсов разомкнутой системы.

Если система в разомкнутом состоянии устойчива  (m = 0) условие устойчивости системы при ее замыкании упрощается:

                       m₊  –  m_- = 0.                                                      (3.22)