2. Математическое описание линейных сау

2.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений сау

Процессы, происходящие в САУ, в общем случае описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены лишь в отдельных редких случаях. Однако для достаточно большого числа систем эти уравнения с приемлемой для решения практических задач точностью могут быть  заменены линеаризованными.

Рассмотрим принцип линеаризации на примере системы, у которой входнойи выходной сигналы связаны  нелинейной статической зависимостью . Пусть в установившемся режиме величина входного сигнала равна и его отклонения от этого значения в переходных процессах достаточно малы.

Разложив нелинейную зависимость в ряд Тейлора  в окружности точки установившегося режима и, отбросив члены ряда выше первого порядка малости, получим следующую приближенную зависимость:

,                                        (2.1)

где - значение производной функции попри подстановке в выражение этой производной значения =.

Выражение (2.1) можно переписать в виде: 

,                 (2.2)

где    ; ;

.

Проведенная линеаризация имеет простую графическую интерпретацию: она соответствует (рис. 2.1)  замене действительной нелинейной характеристики касательной к ней в точке, соответствующей установившемуся режиму. Коэффициент  k в выражении (2.2) равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси . Поэтому его величина может быть найдена простым графическим построением без нахождения аналитического выражения нелинейной зависимости и ее производной.

В более общем случае, система описывается нелинейным дифференциальным уравнением, связывающим производные по времени входного и выходного сигналов:

.

(2.3)

 

Разложив нелинейную функцию (2.3) в ряд Тейлора в точке установившегося движения, получим следующее линейное дифференциальное уравнение для приращения переменных:

….+…

+………..,                                       (2.4)

где ..,и т.д.  – значения производных функции (2.3) полученные при подстановке значений входного и выходного сигналов, соответствующих установившемуся режиму.

Следовательно, процедура линеаризации нелинейных систем дает возможность описать их линейными дифференциальными уравнениями в отклонениях. Очевидно, что допустимость такой линеаризации ограничена требованием к незначительности отклонений сигналов от их установившихся значений. Кроме того, поскольку такая линеаризация основана на разложении в ряд Тейлора, она применима только к непрерывно дифференцируемым нелинейностям.

Нелинейные звенья и системы, не удовлетворяющие этому требованию, называются существенно нелинейными. К существенно нелинейным звеньям относятся звенья с прерывистыми характеристиками, например, звенья с релейными характеристиками или неоднозначными характеристиками типа петли гистерезиса.

2.2. Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения сау. Передаточные функции линейных звеньев и систем

В общем случае дифференциальное уравнение, связывающее входной и выходной сигналы линеаризованной системы, имеет следующий вид:

(2.5)

Решение дифференциальных уравнений (2.3) – (2.4) зачастую связа­но со значительными  трудностями, а во многих случа­ях, например в следящих системах, не может быть осу­ществлено, так как неизвестно управляющее воздейст­вие. По этим причинам исследование систем ведется косвенными методами, например,  базирующимися на операционном преобразовании Лапласа.

Приведем основные сведения о преобразовании Лапласа, которые будут использованы при рассмотрении систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

Преобразованием Лапласа называют  интегральное преобразование:

,                                                        (2.6)

определяющее соответствие между функцией вещественного переменного и функцией комплексного переменного . При этом называюторигиналом,

а –изображением или изображением по Лапласу.  Символическая  запись такого преобразования:

=,

где – оператор преобразования Лапласа.

Предполагается, что функция , которая подвергается преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:

        определена и дифференцируема на всей положительной числовой полуоси ;

        = 0  при ;

        существуют такие числа Ми , что при .

Функции, обладающие указанными тремя свойствами, часто называют функциями-оригиналами.

Соотношение

,                                                (2.7)

определяющее  по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего), называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль прямойRep = . Символически обратное преобразование Лапласа можно записать так:

=,

где – символ обратного преобразования Лапласа.