Интегро-дифференцирующее звено порядка

 

 

Интегро-дифференцирующее звено порядка – это звено, зависимость между выходным  и входным сигналами которого описывается следующим дифференциальным уравнением:      

Операторное уравнение звена:

.

Переда­точная функция звена

.

Частотные характеристики:

; ;;      (2.55)

Выполнив несложные преобразования, можно представить АФХ звена в виде функции, связывающей вещественную и мнимую частотные характеристики:

,                                        (2.56)

где ; .

Согласно  (2.55) – (2.56) годограф АФХ интегро-дифференцирующего звена имеет вид полуокружности с радиусом , центр которой находится на действительной положительной полуоси в точке . При этом годограф расположен в первом квадранте, еслиT₁ > T₂ (рис. 2.32, а), и в четвертом квадранте, еслиT₁  <T₂ (рис. 2.32, б).

Вид всех остальных характеристик интегро-дифференцирующего  звена также определяется соотношением между постоянными времени T₁ иT₂:

A(ω)==;

;

.

Графики логарифмической амплитудно- и фазо-частотной характеристик приведены на рис. 2.24. Очевидно, что при > в среднечастотном диапазоне преобладают дифференцирующие свойства звена (наклон ЛАХ  +20дБ/дек), а при < – интегрирующие свойства (наклон ЛАХ  -20 дБ/дек).

Воспользуемся формулой разложения (2.15) для получения выражение переходной функции интегро-дифференцирующего звена.

Изображение по Лапласу переходной функции:

В соответствии с выражением (2.15):

;; ;

; ; ; ;

и

Следовательно, переходная функция интегро-дифференцирующего звена (рис. 2.25) имеет вид:

Пропорционально-интегральный регулятор (пи-регулятор)

Пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор) – это звено, зависимость между выходным и входным сигналами которого описывается следующим дифференциальным уравнением:      

Операторное уравнение звена:

.

Переда­точная функция звена

.

Следовательно, изображение по Лапласу сигнала на выходе звена представляет собой сумму  двух составляющих, одна из которых пропорциональна входному сигнала, а вторая – пропорциональна интегралу от входного сигнала, что и определяет  название данного звена:

.

Частотные характеристики ПИ-регулятора:

; ;

; ;

.

Графики логарифмических амплитудно- и фазо-частотной характеристик звена приведены на рис.2.26.

Переходная функция звена (рис. 2.27):

.

2.5. Неминимально-фазовые звенья

Мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся на практике типы минимально-фазовых звеньев. В отличие от них передаточная функция  любого неминимально-фазового звена имеет хотя бы один «правый» ноль или полюс. Приведем пример такой передаточной функции:

.

Здесь имеется положительный полюс (корень знаменателя):

.

Частотные характеристики такого звена:

; ,

так как при  входной и выходной гармонические сигналы находятся в противофазе.

В то же время для обычного апериодического звена имеем:

Разница между ними, как видим, в величине фазы, амплитудные же характеристики одинаковы. Оказывается, что из всех возможных звеньев с одинаковыми амплитудными характеристиками минимально-фазовые типовые звенья обладают  наименьшими по абсолютному значению фазовыми характеристиками. В этом и состоит смысл введенных терминов.

Важным свойством минимально-фазовых звеньев является однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик. Другими словами, по заданной амплитудно-частотной  характеристике всегда можно определить амплитудно-фазовую и наоборот. Этим  же свойством обладают  вещественная и мнимая части амплитудно-фазовой характеристики минимально-фазовых звеньев.

Заметим, что для данного неминимально-фазового звена переходная функция будет расходящейся, вместо обычной затухающей.