3.4. Запасы устойчивости

Впроцессе эксплуатации САУ ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени) из-за из­менения внешних условий, колебаний напряжений источ­ников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то исходная устойчивая система  может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить опреде­ленныезапасы устойчивости системы, которые характе­ризуют близость годографа амплитудно-фазовой характе­ристики разомкнутой системы   W(jω)  к точке с координатами (-1,j0).

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте срезаω_сикритической частоте ω_кр . На частоте среза амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы  |W(jω)| равна единице, а на критичес­кой частоте фазо-частотная характеристика этой системыφ(ω) принимает значение, равное -π.

Запас устойчивости по фазеΔφпоказывает, насколько фазо-частотная характеристика разомкнутой системы на частоте срезаω_сотлича­ется от  -π  (рис. 3.9):

Δφ =  π – .

Величина запаса устойчивости по усилениюможет быть определена на частотеω_кр, как разность:

=  1 – |W(jω_кр)|,

либо как отношение

α  =  1/ |W(jω_кр)|.

Во втором случае величина запаса устойчивости по усилению определяет,  во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Системы, годографы W(jω) ко­торых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0) (рис. 3.10, а), называют аб­солютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.

Если годограф частотной характеристики W(jω) разомкну­той системы пересекает вещественную ось и слева от точ­ки с координатами (-1,j0), то систему называютуслов­но устойчивой(рис. 3.10, б). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.

Для нормальной работы САУ необходимо, что­бы запас устойчивости по усилению αбыл не менее двух, а запас устойчивости по фа­зе  –  от 0,5 до 1 рад.

3.5. Оценка устойчивости по логарифмическим амлитудно- и фазо-частотным характеристикам

Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амлитудно-  и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω)  и φ(ω). В том случае, когда годографW(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с коор­динатами (-1,j0), для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

ω_с<ω_кр.

На рис. 3.11 приведены ЛАХ и ФЧХ устойчивых разомкнутых системы, одна из которых при замыкании остается устойчивой (рис. 3.11, а), а другая – становится неустойчивой (рис. 3.11, б).

 

По L(ω)  и φ(ω) разомкнутой системы можно определить за­пасы устойчивости: запас по фазеΔφотсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте срезаω_с, а запас устойчивости по усилениюΔLравен зна­чению ЛАХ на критической частотеω_кр, взятому с обратным знаком, т.е.ΔL=  |L(ω_кр)| (см. рис. 3.11, а).

Если ω_с=ω_кр, то система находится на границе устойчивости.

Если при некотором значении коэффициента усиления (k) замкнутая система устойчива с запасом устойчивости по усилению равнымΔL, то величина критического коэффициента усиленияk_крможет быть вычислена  по формуле:

20lg k_кр  =  20lg k + ΔL.

Для оценки устойчивости условно устойчивых САУ реальных технических систем, имеющих обычно достаточно сложную форму, также можно воспользоваться понятием перехода.  При этом переходом называется пересечение графика φ(ω) с горизонтальной прямой  -π, при условии, что на частоте, при которойφ(ω)=  – π,  ЛАХ положительна.

Правило определения знака перехода противоположно рассмотренному для W(jω): переход графикаφ(ω) через уровень(- π) считается положительным, если при увеличении частотыω пересечение этого уровня происходит снизу вверх, в противном случае переход считается отрицательным. Обозначим число положительных переходовm₊ , а число отрицательных переходов  m_- .

В этом случае формулировка критерия устойчивости Найквиста: система в замк­нутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна m/2, т.е.

m₊  –  m_- = m/2,                                                               (3.23)

где m – число правых полюсов разомкнутой системы.

Если число положительных переходов φ(ω) равно числу отрицательных, то система, устойчивая в разомкнутом состоянии , остается устойчивой при замыкании. На рис. 3.12 в качестве примера приведены логарифмические амлитудно-  и фазо-частотные характеристики неустойчивой разомкнутой  системы, имеющей два правых полюса . При замыкании такая система становится устойчивой, так какm₊ = 1, а  m_- = 0, и условие (3.23) выполняется.

Рекомендации для обеспечения запаса устойчивости, которые следуют из практики проектирования САУ:

        во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необ­ходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равен -20 дБ/дек.  Если в указанном частотном диапазоне наклон L(ω) равен -40 дБ/дек,  обеспечить необходи­мый запас устойчивости по фазе затруднительно. При наклоне 0 дБ/дек система обладает чрезмерно большим запасом устойчивости по фа­зе и становитсяпередемпфированнойс длитель­ным переходным процессом:

        во-вторых, запас устойчиво­сти системы по фазе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы в области частоты среза имеет наклон -20 дБ/дек. Чем шире этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.