книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

здий. Операция интегрирования реализуется с помощью фокусирующей линзы, стоящей за эталонной картой. Интенсивность света, сфокусированного этой линзой, измеряется фотоумножителем.

При правильной ориентации системы относительно звездного поля все пучки света, прошедшие через отвер­ стия эталонной карты, образуют на фотокатоде фотоум­ ножителя одно световое пятно (главный максимум кор­ реляционной функции). В случае же отклонения объек­ та-носителя по крену или тангажу от заданного направ­ ления это световое пятно сдвигается и вытягивается в направлении сдвига. Таким образом формируется сиг­ нал ошибки, содержащий информацию как о величине, так н о направлении соответствующих отклонений объ­ екта.

Для того, чтобы система могла определять величину поворота объекта вокруг собственной оси (курсовой угол), на эталонной карте делаются две группы отвер­ стий, соответствующих выбранному участку звездного неба. Одна группа отверстий смещена относительно дру­ гой по направлению вращения вокруг оптической оси системы. Это приводит к возникновению двух максиму­ мов освещенности на корреляционной плоскости. Раз­ ность между ними характеризует как величину, так и направление рассогласования, обусловленного поворо­ том объекта-носителя вокруг собственной оси.

Вышеописанное устройство определяет угловые коор­ динаты объекта с точностью 30' при условии, что ось объекта предварительно грубо ориентирована на центр заданного созвездия с точностью примерно 10°.

Раздел 1

КОРРЕЛЯЦИОННО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

ПЕРВОГО КЛАССА

Глава 2

ВЫВОД .УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КОРРЕЛЯЦИОННО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПЕРВОГО КЛАССА

2.1. О статистическом подходе в теории непрерывных корреляционно-экстремальных систем

Уравнения движения непрерывных КЭС определя­ ются как контуром управления, так и статистическими

характеристиками случайного поля, по которому рабо­ тает кэс.

Можно было бы вывести уравнения движения непре­ рывных КЭС, а также провести анализ и синтез таких систем, используя закон распределения, математическое ожидание и корреляционную функцию случайного поля и оставляя в стороне вопрос об их определении.

Однако, чтобы придать теоретическим результатам какое-то конкретное практическое содержание, надо по­

яснить, что		представляет собой	само	случайное поле.
Возможны		несколько трактовок	этого	вопроса '[63, 66,
76,	77].

В настоящем параграфе подробно рассматривается ситуация, с которой часто приходится сталкиваться в те­ ории корреляционно-экстремальных навигационных си­

стем, когда исходное поле f		(х*, у*) является детерми­
нированным, а траектории		движения датчика	поля
2д*(0 — случайными; под	векторной величиной		2Д* ( 0
понимается совокупность	(х*	(t)\ (рис. 2.1). Обычно за­

дается конечное или счетное множество траекторий дви­ жения {гд,*(^)}, / = 1, 2 , ..., и вероятности pi событий

41

состоящих и том, что движение совершается по траекто­ рии 2Дг* (/). Любые два события //;, Hj при i ^ j пред­ полагаются независимыми. По условию нормировки

х > = >• ;=I

Как в этом случае перейти от детерминированного исходного поля / (х*, у*) к случайному полю? Оказыва­ ется, нетрудно перейти к эквивалентной статистической постановке вопроса. Наряду с исходной системой коор­ динат х*0 i f : введем системы координат хАг/;, связан­ ные с траекториями движения 2Дг*(/) следующим обра­

зом: центры этих систем 0 ; поместим в начальные точки

траекторий	оси х, совместим с начальным поло­
жением вектора	скорости	движения, оси г/г- направим
перпендикулярно к осям х*		так, чтобы движение от Xi

к tji происходило по кратчайшему направлению против часовой стрелки, как показано на рис. 2 .1.

В качестве реализаций fi(x, у) случайного поля f{x, у) рассмотрим линейные преобразования исходного де­ терминированного поля f (х*, у*), получающиеся заме­ ной переменных

x* = x oi + xcos?i — ysincp*, y* = y0i +

- |- x s in ?,• + i/co s fi,

(2.1)

42

т. е. будем считать

fг (х, У) = 7 (Х0г-+ X COS ?t- — у sin <pt-, t/0I- +

+ X sin <Pi -f Уcos <p,-)

(2.2)

и припишем этой реализации вероятность pt рассматри­ ваемой траектории движения zni*{t).

В новой системе координат хОу все траектории начи­ наются в начале коордГшат (рис. 2 .2 ) и уравнения этих траекторий имеют вид:

Хд1(0 =	[х*дг- (/) — х сг] cos Ь + \y*Ai (0 — уVi] sin ъ, }		^
t/дг (/ )= —1х*д« (0 - хсг] sin b + \y*Ai (O'- У*\ C0S ft- I
причем	/-я траектория 2д, ( / ) =	) обладает	веро­

ятностью pi.

Если через hi обозначить индикатор события Я,, т. е. такую функцию, которая равна 1, если событие Hi про­

изошло, и нулю в противном случае, то случайное поле !(х, у) связано с индикаторами /?г- и со своими реализа­ циями fi(x, у) следующим образом:

f (■*. У) = X hifi (х, у),

(2.4)

г=|

атраектория движения zn(t) определяется как

2Д(0 = S hiZAi (0 .	(2-5)
i=i

43

Легко найти математическое ожидание mf (x,y) и кор­

реляционную функцию #//(*!, ?2) случайного поля f ( x , y ):

П

Щ (•*. У) — М {/ (X, У)} = 2 Pifi (X, у) =

П
— 2 Pi h x oi + X cos ft — у sin (pi, Уи +	X sin ft -f-
i=i
+ у cos ft),	(2 .6)

Rf.i (z,, *a) = M {[f (г,) — m, (?,)]\f (ft) -

1

— % (**)]} = 2 Pifi (2.) /г (г*) — Щ (г,) mf (ft) =

г=1

n

—2 PiT(-^oz + -ft COS % — yt sin ft, i=l

Poi + f t s 'n f t	+	yt COS f i ) J ( x oi +	f t c o s f t	— t/a sin f t ,	- f
+ f t	sin	f t + yt c o s f t ) —	rtii ( 2 ,) m j	( f t ) ,	(2 .7 )

Здесь M —символ операции математического ожидания,

* - ( ; ) •

Будем считать, что исходное детерминированное поле

f(x*, у*) непрерывно в любой точке г*— [у*), тогда со­
гласно (2.6), (2.7) mf (z) и Rff(z, z)		также непрерывны
в любой точке z	и в соответствии	с критерием средне­
квадратической	непрерывности (см.	(61], стр. 238) слу­

чайная функция f(x, у) является среднеквадратически непрерывной в любой точке г. Подобное задание случай­ ного поля f(x, у) на основании априорных вероятностей Pi траекторий движения гДг* ( 0 позволяет получить ис­

черпывающие статистические		характеристики этого поля.
Зафиксируем	координаты	z t, z g, . . . , z h		и	числа	о„
а ,,..., и найдем функцию распределения F(at, а ,,...,						ак),
равную вероятности события				2\,	гя, .... Zfc
if(zi) < аи f(z2) < 02,		,	f(zh) < a h).
Выберем те реализации f. (х, у), / =			1, 2 ,...,	т,	для	ко-
торых
^ ( f t X	a . J ^ f t X	^ , ... , ^ ( 2ц )< о к,

44

и пусть Я. ( / =		1.......пг) — события,				состоящие			в том,
что происходит		движение	по	траектории				г*.	и имеет
место реализация /. (х , у).			Поскольку				события		Я.	не­
совместны, то событие
	{/ (*,) < a „ f (?2) < a 2, . . . , f (?*) <							ak}
	т
равно	/УЯ. и
					т
		F («1. а2,...			£ р ,-,
		'г., г,..... zk			j_i	*
где р(. — вероятность траектории z*f (f).
В силу предполагаемой			непрерывности					исходного		де­
терминированного поля f (х*, у*)					функция			F (а,, а2, ..., ак)
является непрерывной по координатам							z,,	”*■. ~г2.....~zk
								z2,		Так
как множество событий {Яг}				состоит		из		конечного		или
счетного числа		событий Яг-,		то	функция			F (а„ а„,..., а*)
имеет	не более	nk разрывов		I	рода	как		г„ г,......zk
								функция аргу­

ментов а,, а, , ..., ак. Е(а,, а2, . . . , ah) является исчерпываю-

Т„ И,......~~zk

щей исходной статистической характеристикой. Иногда, как это будет показано ниже, достаточно знать мате­ матическое ожидание ntf(x, у) и взаимно-корреляцион­ ную функцию Rif(zi, 22), определяемые равенствами (2 .6 )

и (2.7).

Закон распределения, математическое ожидание и корреляционная функция поля, рассчитанные по форму­ лам (2 .6 ) — (2 .8 ), однозначно определяются исходным полем f (х*, у*), множеством траекторий гщ* (t) и рас­ пределением вероятностей {/?;} на этом множестве. Если множество траекторий движения меняется или на тех же траекториях задается новое распределение вероятно­ стей, то математическое ожидание, корреляционная функция и закон распределения случайного поля также меняются. В качестве частного случая избранная поста­ новка вопроса охватывает движение по одной-единст- венной траектории. При этом корреляционная функция поля тождественно равна нулю, а вся информация о по­ ле содержится в математическом ожидании т/(х, у).

45

Как задать траекторию движения датчика полягд(О? В соответствии с формулой (2.5) эта траектория являет­ ся случайной и может быть статистически определена через исходные вероятности р\ и траектории 2дг*(0- Од­ нако часто является обоснован­ ным предположение о д е т е р ­ м и н и р о в а н н о с т и траек­ тории zn(t). Это справедливо, когда все исходные траектории движения z„i*(t) получаются одна из другой переносом на­ чала координат и поворотом координатных осей (рис. 2 .3 ).

В различных практических задачах 3'io могут быть параллельные линии (рис. 2.3,а) либо прямые различ­ ных направлений (рис. 2.3,6); иногда траектории движе­ ния имеют некоторый специальный вид (рис. 2.3,в). Если все исходные траектории 2Д;* ( 0 могут быть получены из какой-то одной траектории zao('t) путем переноса нача­ ла координат и поворота координатных осей, то все пре­ образованные траектории 2Д;(/) в новой системе коорди­ нат хОу совпадают с траекторией гд0(t). Поэтому

			П			П
		(0 =	£	(0 =		* до ( 0 ’ £ hi •
			i—1	n		i—I
	Так как	сумма индикаторов			/гг-	полной системы несов-
				i=l
					гя (/) = гдо (()		и, следова­
	местных событий равна 1, то
	тельно,	траектория	движения		гд(() является		детермини­
	рованной.

46

В рассмотренном выше варианте от исходной поста­ новки задачи, когда случайной была траектория движе­ ния za*(t), а детерминированным — поле f (х*, у*), мы пришли к эквивалентной задаче, в которой траектория движения *(t) детерминированна, а поле f(x, у) —слу­ чайно. Этот случай более всего интересует нас в настоя­ щей работе и именно он рассматривается в дальнейшем. Тем не менее следует заметить, что излагаемый в после­ дующих главах подход может быть без особого труда и усложнений распространен и на вариант, когда траекто­ рия 2Д(t) предполагается случайной.

2.2. Уравнения движения непрерывных корреляционно-экстремальных систем первого класса (общий случай)

Из рассмотрения различных видов непрерывных (аналоговых) систем класса КЭС I*) следует, что общая схема двумерной непрерывной КЭС, приведенная на рис. 2.4, содержит датчик поля 1, блок памяти 2, устрой­

ства перемножения 3, 4. Линейная часть системы харак­ теризуется передаточными функциями Wx(p), Wy(p) каналов х и у. Общим для всех непрерывных КЭС явля­ ется наличие коррелятора в контуре управления. На рис. 2.4 корреляторы представлены устройствами пере-

*) Поскольку далее в разд. I речь идет о корреляционно-экстре­ мальных системах класса КЭС I, для сокращения записи вместо по­ нятия «корреляционно-экстремальная система класса КЭС I» будет употребляться понятие «корреляционно-экстремальная система».

47

Рис. 2.5.

мпоженпя 3, 4\ передаточные функции фильтров корре­ ляторов входят в выражения Wx, Wv,

Линейная часть непрерывных КЭС описывается обыч­ ным способом. Чтобы получить замкнутые уравнения непрерывных КЭС, следует рассмотреть передающие свойства коррелятора как элемента непрерывных КЭС.

Свойства коррелятора как прибора, предназначенно­ го для приближенного вычисления корреляционной функ­ ции, достаточно хорошо исследованы

(см., например, [50, 55, 56]). Однако результаты, полученные в этих рабо­ тах, не могут быть использованы для описания коррелятора, являющегося частью системы экстремального регу­ лирования, главным образом потому,

что в корреляторе, входящем в КЭС, нарушается основное требование, предъявляемое к процедуре вычисления кор­ реляционных функций: постоянство сдвига между реали­ зациями. В силу динамики системы экстремального регу­ лирования перемножаемые и усредняемые в корреляторе величины непрерывно смещаются друг относительно дру­ га. Это приводит к возникновению специфической ошиб­ ки коррелятора, которая не рассматривалась в [55, 56]. Кроме того, в этих работах не рассмотрены спектраль­ ные свойства различных возмущений, присущих корре­ лятору, что необходимо для оценки влияния этих возму­ щений на контур экстремального регулирования. В ра­ ботах [52, 53], (57] была сделана попытка учесть сдвиг реализаций, однако полученные результаты носят сугу­ бо приближенный характер и не учитывают замкнутости контура управления.

В настоящей главе выводятся точные уравнения дви­ жения непрерывных КЭС, справедливые для различных схем поиска отклонения от экстремума, а также учиты­ вающие преобразования поля, которые имеют место в процессе изготовления карт и во время приема сигна­ ла датчиком поля. Эти уравнения справедливы для ста­ ционарных и нестационарных (в пространственном смыс­ ле) полей, при форсированных и квазистационарных режимах управления. В любой непрерывной КЭС осуще­ ствляется операция перемножения двух реализаций слу­ чайных полей gi(xд, Ун) и ц>г(хп, Уп), где хя, уя — коор­ динаты той точки, откуда в данный момент t снимается сигнал датчиком информации; х„, у„ — координаты бло­

48

ка памяти (рис. 2.5). Случайные поля g(xR, уд) и <р(л:п, Уп) обычно представляют собой суммы некоторых ли­ нейных преобразований исходного поля f(x, у) и адди­ тивных помех. Координаты xA(t) и уд(/), определяемые траекторией движения объекта, на котором установлен датчик поля, предполагаются детерминированными, а ко­ ординаты xa(t), yn(t) являются случайными функциями времени. Для удобства дальнейшего изложения перей­ дем к отклонениям

Г\-(t) —Хд (/)		Хп(/), Гу(/) —уд ('/) —Уп( 0
н рассмотрим	случайные функции		времени	rx (l),	ry(t).
В непрерывных КЭС		случайные	процессы	rx (t),	rv(t)
статистически связаны с полями g,			ф, причем гж, гу яв­
ляются аргументами		случайного	поля ф[хд( / ) — rx(t),
yR(t) — гу (03> т- е- ф является с л у ч а й н ы м				п о л е м от
с л у ч а й н о г о	а р г у м е н т а —в		этом состоит своеоб­

разие задачи определения передающих свойств корреля­ тора как элемента замкнутой непрерывной КЭС.

Наряду с		обозначением	(эсд, уд), (xru, уа)		будем	упот­
реблять	для	этих точек также		обозначения	?д=	,
		считать,	что t ^ Z , ЁГД, z a		где Z =
= ( — оо,	о о ),	a Z — некоторое		ограниченное двумерное

компактное метрическое пространство. Практически под Z понимается ограниченная область на плоскости х, у;

расстояние между двумя точками		zi,	гг определяется
обычным способом:
z, — г, \ ' = У (-И —	+	(y, ~	y2)2.

В частности, при рассмотрении вопросов навигации под х и у можно понимать соответственно долготу и ши­ роту места. Тогда замкнутому пространству Z будут со­

ответствовать следующие	пределы изменения	х	и у:
0^л:<360о,—90°^: г/sgC90°.	Будем предполагать,	что	об­

ласти значений полей g, ф совпадают с действительной числовой осью и что эти поля (с вероятностью 1) явля­ ются ограниченными в области Z, т. е. существуют кон­ станты Mg, Мф такие, что с вероятностью 1 g(zR)< M g,

<p(zu) < Мфдля любых 2Д, zneZ .

Будем считать также, что поле ф является средчеквадратически непрерывным в любой точке zn*^Z, т. е. для любого zn^ Z п любого е> 0 существует б> 0 такое,

4— 527

49