книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Продиффенцируем выражение (2.24) по t\
Y* = Y \ ( t - t 0) +	Y(t0) b ( t - U \	(2.25)
где в силу тождественности принято
Y ( t ) 6 ( t - i 0) =	Y (i0) 8 (1 — t0).
Умножив выражение (2.25) на ал (/), а выражение (2.24)		на а0 (t)
и сложив их, получим
a, (t) Y* + а0 (t) Y* =	(/) Y + а0 (t) Г] X

X 1(t — *0) + ai (ОY (*о) б (t — /„).

Учитывая уравнение (2.22) и (2.23), получаем выражение для эквивалентной правой части:

Z(t, t0) = a i (to) Y ( t 0) 8 ( t - t0).

Если система характеризуется уравнениями вида (2.21) при за­ данных начальных условиях Y t (/„), то эквивалентная правая часть, заменяющая начальное условие у каждого уравнения, имеет вид

Z; (t, t0) = Y i (t0) 8 ( t - tQ).

Вболее общем случае система имеет уравнение вида

сначальными условиями при t = t0

Y(t0), . - У("-1) (*„)■

Применяя аналогичную процедуру преобразования, запишем эквивалентную правую часть в виде

Z (t,	t0) = [ап (t0)	(t0)	+ • ■• + a, (t0) Y (/„)] S	(/ - to) +
+	[an(to) Y'[n-	2) (t0) + •	• • + a2 (t0) Y (/„)] 6' (t -	10) +

+an (Q Y (to) 6(n_1) (t — ^o)-

2.4.Метод передаточных функций

При вероятностном исследовании стационарных устойчивых авто­ матических систем только в установившемся режиме их функцио­ нирования после завершения переходных процессов можно при­ менять метод передаточных функций, при котором в качестве харак­ теристик линейной системы используют ее передаточные функции. Предварительно рассмотрим одномерную систему.

Для одномерной стационарной системы связь между входной и выходной переменными в установившемся режиме определяется фор­ мулой (1.40):

СО

Y (i) — J w (т) X (t —- т) dx.

о

50

Применяя операцию математического ожидания, получим выра­ жение для математического ожидания выходной функции в устано­ вившемся режиме:

СО
тУ(t) = j w (т) тх (t — т) dx.	(2.26)
о
Полезный сигнал тх ( t — т) является медленно	меняющейся

функцией времени. Его можно аппроксимировать полиномом пли разложить в ряд Тейлора в окрестности точки t:

m, (t - т) = V ( - 1У т (2.27)

где /и'.'') (/) — производные функции mv (/).

Подставляя выражение (2.27) в формулу (2.26), получим

	СО
	Щ (0 = У ]	^rm{xr\t),	(2.28)
	1ST
где |xr =	j xrw (т) dx — моменты	весовой функции	стационарной
линейной	о
	системы.

Моменты [лг весовой функции связаны с передаточной функ­ цией Ф (s) системы и ее производными при нулевом значении аргу­ мента [58]. Для получения этих зависимостей воспользуемся фор­ мулами (1.42) и (1.45):

00
J w (s) e~sT dx = Ф (s).	(2.29)
о

Полагая в формуле (2.29) s = 0, определяем момент нулевого порядка передаточной функции

СО

р.0 = J w (т) dx = Ф (0).

о

Дифференцируя выражение (2.29) г раз по s, получим “

(— 1)ЛJ тrw (т) е ST dx = Ф(г) (s).

о

Полагая в последней формуле s = 0, определяем момент r-го по­ рядка весовой функции стационарной линейной системы:

р = f xrw (т)dx = (— 1)ГФ(г) (0).		(2.30)
о	(г-1, 2 . . .)	•-*' j

4*

61

Подставляя выражение	(2.30) в формулу (2.28), получим
	СО
* , ( , )	= £ > « (0)/7^>(/).	(2.31)

г = О

Для определения систематической ошибки системы воспользуемся формулой (2.2), которую запишем в следующем виде:

mE(t)=my (t) — yr {t).

(2.32)

Обычно для стационарных устойчивых систем задается идеальная линейная операция L с постоянными коэффициентами, характери­ зующая теоретический (желаемый) выходной полезный сигнал:

Ут(/) = L [тх (0 ] =	Фт° (0) т[П (/),		(2.33)
	г = О п
где ФтГ) (0) — r-я производная	передаточной	функции идеальной
системы.
В частности для следящей системы
ф<°> = 1, Ф<'> =	ф<2>... = ф 'л) = 0;
для дифференцирующей системы
ф<1} = 1, ф<0) = ф<.2) = ф<.3) = . . . =		ф<п) =	0.
Подставляя выражения (2.31) и (2.33) в формулу (2.32), получим
формулу для систематической ошибки системы:
тЕ(0 =	|) Сгтхг{ ) (0,		(2.34)
г=О
где
c r = j T{ o {r)(0) - o i r)y,
(г = 0 ,1 ,... я)
Сг = ± Ф ^ ( 0 у ,
(г = n + 1, п + 2, . . .)
Величины Сг называются коэффициентами ошибок.			Если полез­

ный сигнал представляет собой полином не выше /i-й степени отно­ сительно времени, то в формуле (2.34) содержится конечное число членов, так как производные полезного сигнала, начиная с п + 1-й, равны нулю.

Первые три коэффициента ошибок имеют специальные названия:

С0 = Ф (0) — Фт (0) — коэффициент статической					ошибки или коэф­
фициент	ошибки	по	положению;	Сх = Ф' (0)	— Ф(. (0) — коэф­
фициент	ошибки	по	скорости	С0 = -^-(Ф (0) — Фт (0)) коэффи­

циент ошибки по ускорению. Системы, для которых C„=f0 при постоян­ ном сигнале тх= х 0= const, имеют в установившемся режиме постоян-

52

ную ошибку, отличную от нуля. Если С„ = 0, то система называется астатической. Для таких систем установившаяся систематическая ошибка при постоянном входном сигнале равна нулю. Если для си­ стемы С0= 0 , Сг ф 0, то в установившемся режиме имеется постоян­ ная ошибка при входном полезном сигнале, изменяющемся с постоян­ ной скоростью. Если С0= С1= 0 , С2 ф 0, то в установившемся ре­ жиме появляется постоянная систематическая ошибка при входном сигнале тх (t), изменяющемся с постоянным ускорением. Если пер­ вые k коэффициентов ошибок равны нулю: С0 = Сх= • • • = С*_1= О, Ск ф 0, то динамическая система отрабатывает без установившейся ошибки любые входные сигналы, представляющие собой полиномы не выше /е-й степени. Такие системы называются астатическими k-vo порядка или системами с астатизмом k-vo порядка.

Используя формулу (1.40), получим центрированную случайную составляющую выходного сигнала стационарной системы в установив­ шемся режиме:

00	(2.35)
Y i0) (t) = \w(x)X0(t — T)dx.
о

Из теории стационарных случайных функций известно, что цен­ трированная случайная функция Х° (t — т) может быть выражена интегральным каноническим представлением через белый шум V (со)

вида [56, 591:

00
X°(t — т )= |У(со)е'“ <'-*> dw,	(2.36)
— СО

где V (со) — случайная функция аргумента со с некоррелирован­ ными значениями при различных со (т. е. белый шум), имеющая интенсивность sx (со), равную спектральной плотности случайной функции Х° (t) [56, 59]. Подставляя выражение (2.36) в формулу (2.35) и меняя порядок интегрирования, получим

		СО
		КО до = \ V (со) е'“'Ф (ко) da,		(2.37)
где
с о
Ф (ко) = Joy (%) е1ШТД г— частотная			характеристика системы.	Да-
о		формулой (2.37),	запишем
лее, пользуясь
	СО	с о
Y (t)Y (t')=	J	|ф(г'со)Ф (— ко') е‘и' - ‘ш'ГК (со) V (со') dco dco'.		(2.38)
	— со. — со
Применяя к выражению (2.38) операцию математического ожида­
ния, определяем корреляционную функцию в форме
	со	со
Ky ( t , t ') =	|	J Ф (ко) Ф (— fco')e,m' - ,“'''/Co(<o — co')dcodco'.		(2.39)

63

Но так как	V (со) — белый шум, то
	Kv((o — (o') = Sx ((o)8(co-a>'),
где б (со — со')	есть б-функция.	в формулу (2.39)	и про­
Подставляя выражение для Kv (со — со')
изведя интегрирование, получим
	СО
Ку = (/, Г) = J IФ (/со) Is s x (со)		dco.	(2 .40)
	— СО

При f = t из формулы (2.40) получаем выражение для дисперсии функции Y (/) в установившемся режиме:

СО
Dy = J | ер (/со) |3 Sx (со) rico.-	(2.41)

— СО

Из формул (2.40) и (2.41) следует, что в установившемся режиме, т. е. при неограниченном действии стационарного случайного воз­ мущения на стационарную линейную устойчивую систему дисперсия ее выходной переменной постоянна, а корреляционная функция за­ висит от разности аргументов. Следовательно, выходная переменная стационарной устойчивой системы, находящейся бесконечно долго под воздействием стационарной случайной функции, является ста­ ционарной случайной функцией времени. Из этих формул также следует, что спектральная плотность выходной переменной стацио­ нарной системы равна произведению квадрата модуля ее частотной характеристики на спектральную плотность входного стационар­ ного случайного возмущения, т. е.

Sy (со) = | Ф (/со) |2 Sx (со).

На практике часто стационарная линейная система имеет узкую полосу пропускания гармонических колебаний по сравнению со спектром частоты входного возмущения, что можно оценить по виду частотной характеристики системы и по спектральной плотности воз­ мущения (см., например, рис. 2.4). В таком случае спектральную плотность в пределах полосы пропускания системы можно считать постоянной и равной, например, значению S 0 (рис. 2.4). Это соответ­ ствует замене реального широкополосного возмущения стационар­ ным белым шумом с постоянной спектральной плотностью 5 0 и ин­ тенсивностью G = 2л50. В рассматриваемом случае формула (2.41) принимает вид

оэ
Du = SQ J	| Ф (до) |2 da.	(2.42)
СО
Величина J |Ф (ш) |2 dco =	Дсо называется	эффективной поло-

— со

сой пропускания стационарной линейной системы. Интегралы, вхо­ дящие в формулы, в общем случае определяют путем численного ин-

54

тегрироваиия, однако в большинстве случаев для них можно полу­ чить аналитические выражения.

Частотная характеристика Ф (/со) физически возможной устой­ чивой системы, характеризуемой обыкновенными дифференциаль­ ными уравнениями, представляет собой дробно-рациональную функ­ цию частоты со. Таким образом, квадрат модуля частотной харак­ теристики линейной системы можно представить в виде [58, 65]

(2.43)

где Н (/со), F (/со) — полиномы относительно /со с постоянными коэф­ фициентами.

Спектральная плотность Sx (со) стационарного случайного про­ цесса также может быть представлена или аппроксимирована в виде дробно-рациональной функции частоты со в следующей форме [25]:

(2.44)

где W (/со), N (/со) — полиномы относительно /со с постоянными коэффициентами.

Из формул (2.43) и (2.44) следует, что при определенных условиях подынтегральные выражения в формулах (2.41) и (2.42) являются дробно-рациональными функциями частоты со. Например, в общем

случае	подынтегральное выражение в формуле (2.41)		можно при­
вести к	виду
		[Я(ш)1ЧЩш)р
	Ф (/со) |2 Sx (со) = [F (ico) N (ico)] [Т7(— ico) N (— ico)]
		gn (tea)	(2.45)
	hn (ico) hn (— ico) ’
где
	hn (x) = F (x)N (x) =	a0xn + a^xf1- 1H-------[- an\
gn (x) = \H (x) |21M (x) |2 =		V 2" -2 +. M 2" -4 + • • • +	bn_v
	I0(lco)I2,Sx(cu)

Рис.	2.4. Спектральная		плот­
ность	сигнала	в полосе	про­	о	со
	пускания	системы

55

Подставляя выражение (2.45) в формулу (2.41), приведем ее к виду

Dy — 2я/„,

где

gn (‘(о)	(2.46)
1,1 2я J Л„ (!'ш)Л„ (— ш) dco.

Для интегралов /„ составлены таблицы (приложение 2), при по­ мощи которых их значения выражаются через параметры функций

gn (l'“ ) и Л„ (ш).

Корреляционную функцию и дисперсию ошибки Е (t) для уста­ новившегося режима вычисляют по полученным формулам, так как в данном случае Е° (t) = Y° (t).

Для многомерной системы, имеющей несколько входов и выходов, для каждого выхода формулы, характеризующие вероятностные оценки моментов выходной функции и ошибки, аналогичны форму­ лам (2.31), (2.34), (2.41) и (2.42). Однако в этих формулах должны быть учтены реакции всех входных сигналов на рассматриваемый выходной сигнал.

Рассмотрим, например, частный случай, когда в системе имеется один выход (t) и т входов Х г ((), г = 1, . . ., т. Один из вхо­ дов Х г (t) является основным, а через остальные в систему попадают только стационарные случайные помехи, не коррелированные между собой и с Х х (/). В этом случае формулы для математических ожида­ ний выходной переменной и ошибки получаются обобщением фор­ мул (2.31) и (2.34) в следующем виде:

со т

ШУ(0 = 2 7 Г ф & (		° )	w	+ фуS*к ( ° ) тЧ ’
7 = 0				к = 2
со			т
Ше (0 = £	Crm ^	it) +	£	Фух (0) тх .
г = 0	1		к = 2	й	й
	(Ь= 1, ■• •,		т)

Для дисперсии DtJ = DE в этом случае получаем формулу

тсо

^ = 2 J | <1V * Щ I2s xk (ffljdffl.

k = 1 — сю

Приведенные формулы также позволяют выразить математические ожидания и дисперсии выходной переменной и ошибки системы через ее параметры. Если линейная система имеет несколько выходов, то для каждого выхода справедливы приведенные формулы. Кроме того, возникает необходимость в определении взаимной корреляционной функции и взаимного корреляционного момента связи выходных переменных системы в установившемся режиме. Эта задача решается

56

следующим путем. Для каждого выхода стационарной системы в уста­ новившемся режиме справедлива формула

т	со
У1 (I) = 2	j	Vr и	*ш ФУкХг(ко) da,	(2.47)
г = 1 — со
	(/г=	1,	. . ., п)

где (i) — центрированная случайная функция На k-оч выходе; ФУкхг (s) — передаточная функция систем от /--го входа до /г-го вы­

хода; Vr (со) — случайные белые шумы в интегральном разложе­ нии (2.36) для г-го входа, не связанные между собой. Вычислим про­

изведение Y°k (t) Y°k (t'), пользуясь формулой (2.47), и применим к нему операцию математического ожидания. В результате получим

		т	со	со
****/(*.	*	')Г— =l	— со	2— со	J	J cIv > (/с°) cIv	>	(— i
			X KVr(со — со') da da’.					(2.48)
				(fr,	1 = 1 , . . . ,	п)
Учитывая,	что	KVr (со — cor) = SXr (со) 6 (со' — со'),					из	фор­

мулы (2.48) получим выражение для взаимно корреляционной функции:

т	со
(*• *') = 2	J Ф * * * , ( И Ф « * , ( — l'co)e‘’ “ «~i')SXr(a)da. (2.49)

Г =1 —00

(k, 1= 1, . . ., п)

При t' = t из формулы (2.49) получаем выражение для корреля­ ционного момента связи в установившемся режиме:

0« (0 = KykvL(t, 0 = 2т	со	ФУкхгJ М V (—*'“ ) s xr И da. (2.50)
Г— 1 — со
(k,	I =	1, . . ., п)

Интегралы в формулах (2.49) и (2.50) в общем случае определяются численно. Если система описывается обыкновенным дифференциаль­ ным уравнением, а спектральная плотность входного сигнала SXr (со)

представлена дробно-рациональной функцией частоты со, то инте­ гралы в выражении (2.50) приводятся к виду (2.46) и вычисляются окончательно [58].

2.5. Метод интегрирования уравнений системы

Эффективным методом исследования процессов управления и ре­ шения основной задачи оценки точности при действии случайных возмущений является метод интегрирования уравнений системы [56 ].

Метод интегрирования уравнений системы состоит в представлении

57

всех выходных функций линейной системы в виде канонических млн иных разложений по случайным параметрам, через которые выра­ жены входные сигналы, и в определении базовой системы функций, участвующей в разложении выходных сигналов. Эти базовые коор­ динатные функции определяются путем многократного интегриро­ вания исходной системы линейных уравнений для каждого номера.

Изложим существо метода для одномерной линейной в общем слу­ чае нестационарной динамической системы, характеризуемой урав­ нением вида

F ( t , p ) Y = H (t, р) X.

Начальные условия являются случайными, для которых заданы их моменты — математические ожидания и дисперсии величины Y (0)

н ее производных У(г) (0) до п — l-ro порядка:

ти {0)........

» v -i(°);

Dy (0 ),..., Dy^ i) (0).

Пусть случайное возмущение X (t) представлено каким-либо раз­ ложением вида

X(t) = mx (t)+ ZVjXjit),	(2.51)
y=i

где тх (t) — математическое ожидание функции X (/); х,- (t) — из­ вестные координатные функции; Vj — случайные величины с нуле­ выми математическими ожиданиями и корреляционной матрицей

МiVtVj] = Rlj-

Выходную переменную Y (t) представим в форме

У (i) = т„ (0 + Y 0 (/),

где ту (t) — математическое ожидание; У0 (/) — случайная центри­ рованная составляющая. На основании принципа суперпозиции функции ту (t) и У0 (t) определяются уравнениями

	F (t,p) ту =		H(t, р) тх,	(2.52)
	F (/, р) Y°	=	Н (t, р) Х \	(2.53)
где	Х °(0 =	hVjXiit).
		/=i

Уравнение (2.52) следует интегрировать при заданных начальных условиях t = 0, ту (0), . . ., my(n-i) (0). Выходную функцию У0 (t) определим также в форме суммы

У0 (0 = Ъ Vjy, (/),	(2.54)
/=i

* Везде далее в тексте для коэффициентов корреляции случайных функций принято обозначение 0(-/.

58

где Vj — те же случайные параметры, что и в формуле (2.51), у (t) — координатные функции разложения, которые необходимо определить.

Подставим выражение (2.54) в уравнение (2.53). Учитывая, что V j — случайные величины и не зависят от времени, получим

£	V.-F (/,	р ) у ,=	Ъ VjH(t, р)х,.
/=1			/=1
Преобразуем это уравнение к виду
2	v, [F (t,	р) у, -	Н (/, р) *у] = 0.	(2.55)
/=1

Так как Уу— произвольные случайные параметры, то для выпол­ нения условия (2.55) необходимо, чтобы были справедливы равенства

F (t, р) у,■=	Н (t, р) xj:	(2.56)
(/ = 1,	. . . . Я)

Таким образом, для определения неизвестных функций ру- (I) не­ обходимо исходное уравнение (2.56) интегрировать N раз при раз­ личных хj (j = 1, . . ., N) и для определенных начальных условий. Выясним, как следует задать эти начальные условия. Число раз­ личных функций уj (t) равно N. Для каждой из них необходимо задать я начальных условий. Всего должно быть задано Nn началь­ ных условий. Но для исходного уравнения (2.53) задано я начальных условий: D y (0), . . . , D y{n-\) (0). Следовательно, имеется известная свобода выбора начальных условий для уравнений (2.56) при опре­

делении функций		у; (/). Продифференцируем выражение (2.54)
( я —	1) раз, после	чего положим t = 0. В результате получим си­
стему	равенств

Y°lr){0 )=	i> /l//r)(0).
	/=1
(г = 0, 1,	. . ., я — 1).

Умножим на комплексно сопряженное значение каждую из ве­ личин в правой части равенства и применим операцию математиче­

ского ожидания:
M{[Y0(r) (О)]2}=		S ^ [V v V /]^ r ,(0)p}r)(0),
		v/=1
где	(г = 0,	1,	. . ., я — 1),
	Л41[Г<°<'>(0)Г) =Д,(г);
	M[VvVj] = Rvj.
В результате	получаем систему			уравнений	для	определения
y f (0),	/ = 1, . . . .	Я;	г =	0, 1_____ я — 1:
	£U> = S	S	^ ;4/Г(0)^>(0).		.	(2.57)

/ = 1 V = 1

59