10. Вынужденные колебания

1. Уравнения вынужденных колебаний, их решения

Под вынужденными колебаниями понимают колебания, происходящие в системе в результате внешнего воздействия (внешней силы или внешнего напряжения), изменяющегося со временем по гармоническому закону. При этом колебания в системе происходят на циклической частоте внешнего воздействия, а амплитуды колебаний различных величин в системе будут зависеть от этой частоты.

Рассмотрим дифференциальное уравнение и его решение для вынужденных колебаний, происходящих в колебательном контуре под действием внешнего напряжения, изменяющегося по гармоническому закону

. (5.60)

В этом случае дифференциальное уравнение (5.1) примет следующий вид:

. (5.61)

Известно, что решением этого уравнения является следующее выражение

. (5.62)

Из формулы (5.62) следует, что первое слагаемое представляет собой уравнение свободных затухающих колебаний системы и амплитуда этих колебаний с течением времени уменьшается. Если взять время t, большее времени установления стационарного режима колебаний в контуре (t > t _уст), то тогда в выражении (5.62) останется только второе слагаемое (первым слагаемым можно пренебречь), которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний заряда q на обкладках конденсатора

t > t _уст: . (5.63)

Аналогичные уравнения можно записать для напряжения U_C на конденсаторе и силы тока I в контуре

, . (5.64)

Как уже отмечалось, амплитуды колебаний этих величин зависят от частоты внешнего напряжения, такие зависимости называютрезонансными кривыми: ,, .

Выведем формулы для этих зависимостей. Для этого используем формулу Эйлера (5.40) для комплексной формы записи гармонического колебания.

, , _,

.

Подставим эти выражения в формулу (5.61):

,

.

Два комплексных числа равны, если будут равны их вещественные и мнимые части, поэтому

, . (5.64а)

Возведем каждое уравнение (5.64а) в квадрат, сложим их и получим

. (5.65)

Разделим уравнения (5.64а) одно на другое, что приводит к формуле

. (5.66)

Используя выражение (5.65), запишем

. (5.67)

. (5.68)

Рассмотрим подробнее резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе и амплитуды силы тока в контуре.

2. Резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе. Явление резонанса

Исследуем функцию (5.67) для различных значений угловой частоты внешнего напряжения .

1. ω=0: ,

т.е. постоянное напряжение, подаваемое в контур, представляет собой напряжение на конденсаторе или все резонансные кривые для частоты , равной нулю (), выходят из одной точки.

2. : ,

т.е. при больших частотах внешнего воздействия все резонансные кривые стремятся к нулю. Это связано с тем, что система не успевает за изменениями внешнего воздействия и амплитуда колебаний в контуре уменьшается.

3. . Найдем угловую частоту , при которой зависимость имеет максимальное значение. Оно будет наблюдаться в том случае, когда выражение под знаком квадратного корня в формуле (5.67) будет минимальным. Поэтому

. (5.69)

Подставляя в формулу (5.67), для максимального значения амплитуды напряжения на конденсаторе получим

. (5.70)

Величина получила название резонансной частоты. В условиях малого затухания (Q >>1) для частоты можно записать

, (5.71)

т.е. амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе во много раз превышает амплитуду внешнего напряжения, подаваемого в контур. Это явление получило название явления резонанса. Под резонансом понимают явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных свободных незатухающих колебаний системы.

На рис. 5.17,а приведены резонансные кривыедля идеального колебательного контура () и для двух значений сопротивления R в нем (, т.е.). При этом считается, что индуктивность L катушки и электроемкость C конденсатора контура не изменяются, т.е. частота при этом остается неизменной.

Можно отметить, что для идеального колебательного контура максимум резонансной кривой приходится на частоту , равную (), причем максимальное значение при этом стремится к бесконечности (рис.5.17,а). При увеличении сопротивления контура коэффициент затухания увеличивается, а максимальное значение и частота , на которую он приходится, уменьшаются (рис. 5.17,а).

Рис. 5.17

В случае механической системы резонансную кривую для амплитуды смещения груза (м.т.) от положения равновесия можно получить, используя табл. аналогий 5.1:

;

; ;. (5.72)

. (5.73)

Графики резонансных зависимостей от при различных значениях коэффициента затухания , т.е. при различных значениях коэффициента r сопротивления среды, и постоянной частоте приведены на рис .5.17,б.