- •5. Теория колебаний 5
- •6. Теория волновых процессов 48
- •Теория колебаний
- •Введение
- •Условия возникновения колебаний в системе. Таблица аналогий между механическими и электромагнитными колебаниями
- •Общие дифференциальные уравнения, описывающие колебания в произвольной системе
- •Механические незатухающие гармонические колебания в замкнутой системе
- •Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Гармонический осциллятор
- •Гармонические электромагнитные колебания в закрытом идеальном колебательном контуре
- •Сложение гармонических колебаний
- •Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •СложениеNгармонических колебаний одного направления, одинаковой амплитуды и частоты, начальные фазы которых образуют арифметическую прогрессию
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •Модулированные колебания
- •Спектральное представление различных сигналов
- •4. Наиболее общий случай: произвольная периодическая функция.
- •Затухающие колебания
- •Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, его решение
- •Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний
- •Вынужденные колебания
- •Уравнения вынужденных колебаний, их решения
- •Резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе. Явление резонанса
- •Резонансные кривые для амплитуды силы тока в контуре, для амплитуды скорости материальной точки в механической системе
- •Разность фаз колебаний между силой тока и напряжениями на конденсаторе, индуктивности и активном сопротивлении колебательного контура. Фазовые резонансные кривые
- •Переменный электрический ток
- •Энергетика резонанса. Некоторые примеры проявления и применения резонанса в природе и технике
- •Нелинейные системы. Автоколебания
- •Параметрические колебания. Параметрический резонанс
- •Нормальные колебания (моды). Связанные колебательные системы
- •Теория волновых процессов
- •Волны в упругой среде
- •Характеристики волновых процессов
- •Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны
- •Энергия упругой волны. Объемная плотность энергии. Вектор Умова
- •Стоячие волны. Колебания струны
- •Интерференция волн
- •Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия волн
- •Звуковые волны. Скорость упругих волн в различных средах
- •Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн
- •Электромагнитные волны
- •Волновые уравнения для электромагнитной волны (эмв). Уравнение плоской монохроматической эмв.
- •Свойства эмв
- •Давление эмв. Опыты п.Н. Лебедева, подтверждающие электромагнитную природу света
- •Излучение эмв
- •6.2.4.1. Шкала эмв и способы возбуждения эмв
- •6.2.4.2. Излучение эмв диполем
- •Опыты с эмв
- •Ударные волны. Уединенные волны
- •Часть 4 колебания и волны
- •620002, Екатеринбург, Мира, 19
Параметрические колебания. Параметрический резонанс
Параметрические колебания – это колебания, происходящие в системе за счет периодического изменения тех параметров системы, которые определяют величину запасенной колебательной энергии. Так, например, можно возбудить параметрические колебания в колебательном контуре за счет периодического изменения электроемкости конденсатора или индуктивности катушки, параметрические колебания маятника за счет изменения длины его нити или массы груза.
Если обозначить через частоту собственных незатухающих колебаний в системе, то параметрическое возбуждение колебаний в системе наступает в тех случаях, когда частота периодического изменения параметра системы будет удовлетворять условию
. (5.91)
При таких значениях частоты в системе будут возбуждаться собственные колебания системы на частоте . Наиболее благоприятной для возбуждения колебаний является частота , равная , так как на этой частоте совершает колебания энергия системы (потенциальная и кинетическая энергии, энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки индуктивности). При такой частоте колебания в системе будут наиболее интенсивными.
Поясним это на примере периодического изменения электроемкости конденсатора колебательного контура. Пусть момент времени , заряд на обкладках конденсатора будет максимальным и в этот момент времени скачком (за время, малое по сравнению с периодом собственных колебаний) раздвигаются пластины конденсатора. Тогда энергия электрического поля конденсатора будет увеличиваться, в контур поступает энергия:. Через четверть периода колебаний () конденсатор будет разряжен (), вся энергия контура будет сосредоточена в катушке в виде энергии магнитного поля. Поэтому сближение обкладок конденсатора в этот момент времени не приводит к отводу энергии колебаний из контура.
Таким образом, за один период колебаний в контур два раза подводится энергия. Аналогичные процессы протекают при периодическом изменении индуктивности катушки контура.
Возникновение параметрических колебаний возможно и при отсутствии энергии колебаний в системе, это объясняется следующим образом. В любой колебательной системе вследствие воздействия на нее различных случайных факторов всегда существуют малые отклонения различных физических величин от их средних значений (их называют флуктуациями). Спектр частот таких флуктуаций будет непрерывным с малыми амплитудами отдельных гармоник (для напряжения на конденсаторе или индуктивности они составляют значения порядка микровольта). Периодическое изменение параметра системы на частоте, кратной , приводит к тому, что амплитуда гармоники с частотой будет все время увеличиваться за счет подвода энергии в систему извне и в системе возникают незатухающие колебания с большой амплитудой.
Такое возбуждение колебаний в системе получило название параметрического резонанса.
Нарастание амплитуды колебаний при параметрическом резонансе ограничивается при достаточно больших амплитудах нелинейными эффектами. К ним можно отнести, например, возникновение зависимости активного сопротивления R от амплитуды силы тока в контуре (это приводит к увеличению потерь энергии на выделение джоулевой теплоты) или зависимости электроемкости конденсатора от напряжения (это приводит к изменению частоты собственных колебаний и в результате к увеличению расстройки () между частотами и ). Равновесное значение амплитуды колебаний наступает тогда, когда параметрическая накачка энергии в среднем за период компенсируется джоулевыми потерями.
Явление параметрического резонанса используется при работе малошумящих параметрических усилителей СВЧ-диапазона, в которых применяются
параметрические полупроводниковые диоды с управляемой емкостью р-n перехода.
Примером параметрического резонанса в механической системе является маятник в виде груза массы m , подвешенного на нити, длину которой можно изменять (рис. 5.26,а).
Если уменьшать длину в нижнем положении и увеличивать в крайних положениях, то работа внешней силы за один период колебаний будет положительной и амплитуда колебаний будет возрастать. Траектория движения груза при таких колебаниях показана на рис. 5.26,б
Раскачка качелей также обусловлена параметричес-
ким резонансом, когда эффективная длина маятника (положение центра тяжести) изменяется при приседаниях и вставаниях человека.
Рис. 5.26