4. Наиболее общий случай: произвольная периодическая функция.

В этом случае спектр амплитуд не будет таким простым, как в приведенных выше примерах. В математике доказывается, что при условиях, которые обычно выполняются в физических задачах, периодическую функцию с периодомТ (см., например, рис. 5.1,б) можно представить в виде суперпозиции бесконечного числа гармонических колебаний, частоты которых образуют дискретную последовательность. Эти частоты кратны основной циклической частоте () изменения функциии принимают значенияи т.д. Такая сумма называетсярядом Фурье или гармоническим разложением сложного периодического колебания.

, (5.37)

где коэффициенты Фурье определяются видом функции.

Совокупность величин называетсяспектром амплитуд функции , а совокупность–спектром фаз. Слагаемое ряда Фурье с частотой называютпервой (основной) гармоникой, а остальные – высшими (второй, третьей и т.д.) гармониками или обертонами функции .

В качестве примера приведем спектр амплитуд пилообразной периодической функции (она приведена на рис. 5.1,б), временная зависимость которой описывается следующим образом:

.

Можно показать, что коэффициенты Фурье в этом случае будут равны

,

Спектр амплитуд для такой периодической функции приведен на рис. 5.14,г. Он представляет собой бесконечный дискретный набор гармоник, амплитуды которых убывают обратно пропорционально номеру гармоники.

5. Функция не является периодической функцией времени. В этом случае она также может быть представлена в виде бесконечной суммы гармонических колебаний, но в этом случае их частоты образуют непрерывную последовательность. Эта сумма будет записываться в виде интеграла Фурье

, (5.38)

, . (5.39)

Величины и представляют амплитудный спектр и фазовый спектр функции . Функцию называют Фурье-образом функции , ее комплексным спектром или просто спектром. Функция полностью определяет функцию и эквивалентна ее амплитудному и фазовому спектрам. При записи формул (5.38) и (5.39) была использована формула Эйлера для комплексного представления гармонического колебания

, (5.40)

где – мнимая единица:.

Нужно помнить, что комплексная форма записи гармонических колебаний удобна при проведении расчетов или математических выкладок. При переходе от комплексной формы записи к реальной функции берут вещественную часть комплексного числа

. (5.41)

В качестве примера непериодической функции можно привести изолированный прямоугольный импульс высотой, ограниченный интервалом времени (рис. 5.14,д). Спектр амплитуд такого импульса является сплошным (рис. 5.14,е), причем

. (5.42)

.

Таким образом, периодические функции характеризуются дискретными спектрами амплитуд, а непериодические – непрерывными спектрами амплитуд.

Ограниченные во времени непериодические функции представляют собой импульсные сигналы (их еще также называют импульсами), для которых можно ввести понятия продолжительности импульса и ширины спектра импульса. Продолжительность импульса – это промежуток времени, в течение которого амплитуда импульса существенно отличается от нуля, а ширина спектра импульса – это интервал частот, на котором амплитуда спектра существенно отличается от нуля.

Можно показать, что ширина спектра импульса обратно пропорциональна его продолжительности . Действительно, на рассмотренном выше примере прямоугольного импульса можно записать приближенное равенство

, (5.43)

где за ширину спектра была принята частота, при которой впервые амплитуда спектра обращается в ноль: (см. рис.5.14,е). Равенство (5.43) часто используется для приближенной оценки ширины частотного спектра различных импульсов.

В заключение параграфа отметим, что исследование спектрального состава временных процессов, представление их в виде набора самого простого вида колебаний – гармонических колебаний, имеют ряд неоспоримых преимуществ и поэтому широко применяются во многих разделах не только физики, но и других естественных наук. К таким преимуществам можно отнести, например, простую и наглядную классификацию временных процессов по спектру их амплитуд; методику анализа распространения различных сигналов в средах по изменению частотного спектра сигнала; целенаправленное изменение временных сигналов по изменению их частотного спектра и т.д.