6. Гармонические электромагнитные колебания в закрытом идеальном колебательном контуре

В такой контур не подается внешнее напряжение (U_внеш=0) и в нем отсутствуют потери энергии на нагревание проводников (β=0), поэтому общее дифференциальное уравнение колебаний (5.1) для такого контура запишется таким образом:

, (5.17)

решением этого уравнения является гармоническое колебание

. (5.18)

Используя таблицу аналогий между механическими и электромагнитными колебаниями (табл. 5.1), можно переписать формулы (5.9) - (5.13) для случая колебательного контура. Таким способом можно получить зависимости от времени силы тока I, напряжения на конденсаторе U_C, напряжения на катушке U_L, ЭДС самоиндукции , энергий электрического поля конденсатораW_C и магнитного поля катушки W_L, полной энергии колебаний W и проекций вектора напряженности электрического поля конденсатора и вектора магнитной индукции магнитного поля катушки. Итак, эти формулы имеют следующий вид:

, ,,, (5.19)

, ,, (5.20)

, ,,

, (5.21)

, (5.22)

, ,,, (5.23)

где d– расстояние между обкладками плоского конденсатора; V – объем катушки (она представляет собой длинный соленоид); – магнитная постоянная.

7. Сложение гармонических колебаний

   1. Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Возьмем ось . Из начала оси (точкаО) отложим вектор под угломк оси(рис. 5.6). Если этот вектор вращать вокруг точкис угловой скоростью, то тогда проекция векторана осьбудет изменяться по гармоническому закону

, .

Такое построение называют векторной диаграммой. Гармоническое колебание на векторной диаграмме совершает проекция вектора на ось. Причем циклическая частотаколебаний будет равна по модулю угловой скоростивращения вектора.

Пусть тело (м.т.) одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны (,):

,. (5.24)

Результирующее движение, равное сумме колебаний и, будет также гармоническим колебанием той же циклической частоты

Рис. 5.6

.

Необходимо найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Это можно сделать с помощью векторной диаграммы. Для этого проведем из точки О векторы с амплитудами А₁ и А₂ под углами ик осии приведем их во вращение с угловой скоростью(рис. 5.7).

Проекции векторов ина осьпри этом совершают гармонические колебания в соответствии с уравнениями (5.24). Результирующее колебание будет изображаться проекцией на осьвектора, полученного из векторовипо правилу параллелограмма. Из построения на Рис. 5.7 следует, что квадрат амплитуды вектораможно найти по теореме косинусов из треугольника ΔОА₂А:

,

. (5.25)

Из треугольников ΔОА₁В и ΔОАС для начальной фазы результирующего колебания можно найти следующее выражение:

. (5.26)

Рассмотрим частные случаи сложения колебаний.

1. , (5.27)

т.е. если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то колебания максимально усиливают друг друга.

2. , (5.28)

т.е., если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то колебания максимально ослабляют друг друга.

3. .

На рис. 5.8 приведены результаты сложения гармонических колебаний в рассмотренных выше случаях 1,2 и 3, при условии, что =0 иА₁> А₂.

Рис. 5.7

Полученные условия максимального усиления (5.27) и ослабления (5.28) колебаний при сложении колебаний одного направления и одинаковой частоты

будут использованы при изучении интерференции когерентных волн.