- •5. Теория колебаний 5
- •6. Теория волновых процессов 48
- •Теория колебаний
- •Введение
- •Условия возникновения колебаний в системе. Таблица аналогий между механическими и электромагнитными колебаниями
- •Общие дифференциальные уравнения, описывающие колебания в произвольной системе
- •Механические незатухающие гармонические колебания в замкнутой системе
- •Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Гармонический осциллятор
- •Гармонические электромагнитные колебания в закрытом идеальном колебательном контуре
- •Сложение гармонических колебаний
- •Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •СложениеNгармонических колебаний одного направления, одинаковой амплитуды и частоты, начальные фазы которых образуют арифметическую прогрессию
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •Модулированные колебания
- •Спектральное представление различных сигналов
- •4. Наиболее общий случай: произвольная периодическая функция.
- •Затухающие колебания
- •Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, его решение
- •Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний
- •Вынужденные колебания
- •Уравнения вынужденных колебаний, их решения
- •Резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе. Явление резонанса
- •Резонансные кривые для амплитуды силы тока в контуре, для амплитуды скорости материальной точки в механической системе
- •Разность фаз колебаний между силой тока и напряжениями на конденсаторе, индуктивности и активном сопротивлении колебательного контура. Фазовые резонансные кривые
- •Переменный электрический ток
- •Энергетика резонанса. Некоторые примеры проявления и применения резонанса в природе и технике
- •Нелинейные системы. Автоколебания
- •Параметрические колебания. Параметрический резонанс
- •Нормальные колебания (моды). Связанные колебательные системы
- •Теория волновых процессов
- •Волны в упругой среде
- •Характеристики волновых процессов
- •Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны
- •Энергия упругой волны. Объемная плотность энергии. Вектор Умова
- •Стоячие волны. Колебания струны
- •Интерференция волн
- •Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия волн
- •Звуковые волны. Скорость упругих волн в различных средах
- •Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн
- •Электромагнитные волны
- •Волновые уравнения для электромагнитной волны (эмв). Уравнение плоской монохроматической эмв.
- •Свойства эмв
- •Давление эмв. Опыты п.Н. Лебедева, подтверждающие электромагнитную природу света
- •Излучение эмв
- •6.2.4.1. Шкала эмв и способы возбуждения эмв
- •6.2.4.2. Излучение эмв диполем
- •Опыты с эмв
- •Ударные волны. Уединенные волны
- •Часть 4 колебания и волны
- •620002, Екатеринбург, Мира, 19
Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн
Под эффектом Доплера понимают изменение частоты, регистрируемой приемником волны, связанное с движением источника и приемника. Впервые теоретически этот эффект в акустике и оптике был обоснован австрийским физиком К. Доплером в 1842 г.
Рассмотрим вывод формулы, определяющей частоту упругой волны, воспринимаемой приемником, на примере двух частных случаев. 1. В среде находятся неподвижные источник и приемник звуковых волн. Испускаемые источником волны частоты и длины волны , двигаясь со скоростью , достигают приемника и создают в нем колебания такой же частоты (рис. 6.11,а). 2. Источник и испускаемая им волна движутся вдоль оси Ох. Приемник движется к ним навстречу. Отметим, что скорость волны зависит только от свойств среды и не зависит от движения приемника и источника. Поэтому движение источника при постоянной частоте излучаемых им колебаний приведет к изменению только длины волны. Действительно, источник за период колебаний пройдет расстояние , а по закону сложения скоростей волна отойдет от источника на расстояние , и поэтому ее длина волны будет меньше (рис.6.11,б).
По отношению к приемнику волна в соответствии с законом сложения скоростей будет двигаться со скоростью и для неизменной длины волны частота колебаний, воспринимаемых источником, изменится и будет равна
.
Если источник и приемник будут удаляться друг от друга, то тогда в формуле для частоты нужно изменить знаки. Следовательно, единая формула для частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника и приемника по одной прямой, будет выглядеть следующим образом:
. (6.36)
Из этой формулы следует, что для наблюдателя, находящегося, например на станции, частота звукового сигнала приближающегося поезда (υПР=0, υИСТ>0)
будет больше, а при удалении от станции меньше. Если, например, взять скорость звука υ=340 м/с, скорость поезда υ=72 км/ч и частоту звукового сигнала ν0=1000 Гц (такая частота хорошо воспринимается человеческим ухом, причем ухо различает звуковые волны с разностью частот, большей 10 Гц), тогда частота сигнала, воспринимаемого ухом будет изменяться в пределах
Рис. 6.11
=
Если источник и приемник движутся со скоростями, направленными под углом к соединяющей их прямой, то тогда для расчета частоты , воспринимаемой приемником, нужно брать проекции их скоростей на эту прямую (рис. 6.11,в):
. (6.37)
Эффект Доплера наблюдается и для электромагнитных волн. Но в отличие от
упругих волн, ЭМВ могут распространяться в отсутствии среды, в вакууме. Следовательно, для ЭМВ не имеет значения скорость движения источника и приемника относительно среды. Для ЭМВ необходимо рассматривать относительную скорость движения источника и приемника, учитывать при этом преобразования Лоренца и замедление хода времени в движущейся системе отсчета.
Рассмотрим продольный эффект Доплера. Выведем формулу для частоты ЭМВ, фиксируемой приемником, в частном случае – источник и приемник движутся навстречу друг другу в направлении соединяющей их прямой. Пусть имеются две И.С.О. – неподвижная И.С.О. К (в ней находится неподвижный приемник ЭМВ) и движущаяся относительно нее вдоль совпадающих осей координат Ох и Ох′ И.С.О. К′ (в ней находится неподвижный источник ЭМВ) (рис. 6.12,а).
Рис. 6.12
Рассмотрим, что наблюдается в И.С.О. К и К'.
1. И.С.О. К′. Источник ЭМВ неподвижен и находится в начале оси координат Ох′ (рис. 6.12,а). Он излучает в И.С.О. К′ ЭМВ с периодом , частоты и длины волны .
Приемник движется, но его движение не влияет на изменение частоты принимаемого сигнала. Это связано с тем, что, согласно второму постулату С.Т.О., скорость ЭМВ относительно приемника будет всегда равна с, и поэтому частота принимаемой приемником волны в И.С.О. К' будет также равна ,
2. И.С.О. К. Приемник ЭМВ неподвижен, а источник ЭМВ движется в направлении оси Ох со скоростью . Поэтому для источника необходимо учесть релятивистский эффект замедления времени. Это означает, что период волны, излучаемой источником в этой инерциальной системе отсчета, будет больше периода волны в И.С.О. ().
Для длины волны , излучаемой источником в направлении приемника, можно записать
.
Это выражение позволяет для периода Т и частоты воспринимаемой приемником ЭМВ в И.С.О. К, записать следующие формулы:
, (6.38)
где учтено, что скорость ЭМВ относительно приемника в И.С.О. К равна с.
В случае удаления источника и приемника необходимо в формуле (6.38) изменить знаки. При этом фиксируемая приемником частота излучения будет уменьшаться по сравнению с частотой волны, излучаемой источником, т.е. наблюдается красное смещение спектра видимого света.
Как видно, в выражение (6.38) не входит скорость источника и приемника по отдельности, входит только скорость их относительного движения.
Для ЭМВ также наблюдается поперечный эффект Доплера, который связан с эффектом замедления времени в движущейся инерциальной системе отсчета. Возьмем момент времени, когда скорость источника ЭМВ будет перпендикулярна линии наблюдения (рис. 6.12,б), тогда движение источника к приемнику не происходит и поэтому длина излучаемой им волны не изменяется (). Остается только релятивистский эффект замедления времени
, . (6.39)
Для поперечного эффекта Доплера изменение частоты будет существенно меньше, чем для продольного эффекта Доплера. Действительно, отношение частот, найденных по формулам (6.38) и (6.39), для продольного и поперечного эффектов будет значительно меньше единицы: .
Поперечный эффект Доплера был подтвержден экспериментально, что еще раз доказало справедливость специальной теории относительности.
Приведенные здесь доводы в пользу формулы (6.39) не претендуют на строгость, но они дают правильный результат. В общем случае, для произвольного угла между линией наблюдения и скоростью движения источника , можно записать следующую формулу
, (6.40) где угол - это угол между линией наблюдения и скоростью движения источника см. (рис. 6.12, б).
Поперечный эффект Доплера отсутствует для упругих волн в среде. Это связано с тем, что, для определения частоты волны, воспринимаемой приемником, берутся проекции скоростей на прямую, соединяющую источник и приемник см. (рис. 6.11,в), а замедление времени для упругих волн отсутствует.
Эффект Доплера находит широкое практическое применение, например для измерения скоростей движения звезд, галактик по доплеровскому (красному) смещению линий в спектрах их излучения; для определения скоростей движущихся целей в радиолокации и гидролокации; для измерения температуры тел по доплеровскому уширению линий излучения атомов и молекул и т.д.