5. Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Гармонический осциллятор

Докажем следующее утверждение: если в системе результирующая сила является квазиупругой, то в такой системе происходят гармонические колебания. Под квазиупругой силой понимают силу, которая подчиняется закону Гука, но не является по своей природе упругой силой.

Докажем это утверждение. Учтем, что, для F_Ку выполняется одновременно и второй закон Ньютона и закон Гука, из которых можно получить дифференциальное уравнение колебаний в системе

, Þ , ,

где – коэффициент жесткости системы, х- смещение тела (м.т.) от положения равновесия.

Как уже было отмечено выше, решением такого дифференциального уравнения является гармоническое колебание (5.7), что и требовалось доказать.

В качестве примера справедливости этого утверждения рассмотрим колебания математического маятника - это материальная точка массы m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длины l (рис. 5.5,а)

Найдем проекцию на ось Ох результирующей силы, действующей на груз математического маятника. Учитывая малые значения угла отклонения () запишем

.

Итак, при малых отклонениях от положения равновесия (при малых амплитудах колебаний) колебания груза будут гармоническими. Это позволяет найти период колебаний

. (5.14)

Как следует из формулы (5.14), период колебаний математического маятника будет зависеть от длины нити l и числового значения ускорения g свободного падения.

Рассмотрим теперь общий случай - случай колебаний физического маятника.

Физическим маятником называют твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси (точка О, рис. 5.5,б). При этом ось вращения не проходит через центр тяжести (центр масс) тела (точка О', рис. 5.5,б). Расстояние между точками О и О' обозначено буквой а (ОО' =а).

П

Рис. 5.5

окажем, что при малых углах отклонения () от положения равновесия (ему соответствует расположение точек О и О' на одной вертикальной прямой) колебания физического маятника будут гармоническими. Для этого запишем второй закон Ньютона для вращательного движения в векторном виде и в проекциях на ось вращения (см. раздел "Механика", формула (1.46))

, ,,

Þ ,. (5.15)

Как уже было отмечено выше, решением полученного дифференциального уравнения является гармоническое колебание. Тогда для периода колебаний физического маятника можно записать следующую формулу:

, . (5.16)

где введена приведенная длина физического маятника - это такая длина математического маятника, при которой периоды колебаний физического и математического маятников совпадают.

Рассмотренные выше примеры (колебательный контур, математический и физический маятники, колебания груза на пружине) являются частными случаями движения гармонического осциллятора. Под осциллятором (от латинского слова oscillo-качаюсь) понимают любую физическую систему, совершающую колебания. Если колебания в системе будут гармоническими, то такой осциллятор называют гармоническим осциллятором. Для механических систем результирующая сила в этом случае является квазиупругой, а потенциальное поле, в котором движется тело, имеет параболический вид (), что наблюдается при малых отклоненияхх системы от положения равновесия.

Если отклонение нельзя считать малым, то тогда в разложениипо степенямнеобходимо учитывать члены более высокого порядка (потенциальное поле становится не параболическим:), уравнения движения становятся нелинейными, а сам осциллятор в этом случае называютангармоническим осциллятором.

Понятие осциллятора применяется также и к немеханическим колебательным системам. В частности, колебательный контур является электрическим осциллятором.