- •5. Теория колебаний 5
- •6. Теория волновых процессов 48
- •Теория колебаний
- •Введение
- •Условия возникновения колебаний в системе. Таблица аналогий между механическими и электромагнитными колебаниями
- •Общие дифференциальные уравнения, описывающие колебания в произвольной системе
- •Механические незатухающие гармонические колебания в замкнутой системе
- •Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Гармонический осциллятор
- •Гармонические электромагнитные колебания в закрытом идеальном колебательном контуре
- •Сложение гармонических колебаний
- •Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •СложениеNгармонических колебаний одного направления, одинаковой амплитуды и частоты, начальные фазы которых образуют арифметическую прогрессию
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •Модулированные колебания
- •Спектральное представление различных сигналов
- •4. Наиболее общий случай: произвольная периодическая функция.
- •Затухающие колебания
- •Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, его решение
- •Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний
- •Вынужденные колебания
- •Уравнения вынужденных колебаний, их решения
- •Резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе. Явление резонанса
- •Резонансные кривые для амплитуды силы тока в контуре, для амплитуды скорости материальной точки в механической системе
- •Разность фаз колебаний между силой тока и напряжениями на конденсаторе, индуктивности и активном сопротивлении колебательного контура. Фазовые резонансные кривые
- •Переменный электрический ток
- •Энергетика резонанса. Некоторые примеры проявления и применения резонанса в природе и технике
- •Нелинейные системы. Автоколебания
- •Параметрические колебания. Параметрический резонанс
- •Нормальные колебания (моды). Связанные колебательные системы
- •Теория волновых процессов
- •Волны в упругой среде
- •Характеристики волновых процессов
- •Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны
- •Энергия упругой волны. Объемная плотность энергии. Вектор Умова
- •Стоячие волны. Колебания струны
- •Интерференция волн
- •Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия волн
- •Звуковые волны. Скорость упругих волн в различных средах
- •Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн
- •Электромагнитные волны
- •Волновые уравнения для электромагнитной волны (эмв). Уравнение плоской монохроматической эмв.
- •Свойства эмв
- •Давление эмв. Опыты п.Н. Лебедева, подтверждающие электромагнитную природу света
- •Излучение эмв
- •6.2.4.1. Шкала эмв и способы возбуждения эмв
- •6.2.4.2. Излучение эмв диполем
- •Опыты с эмв
- •Ударные волны. Уединенные волны
- •Часть 4 колебания и волны
- •620002, Екатеринбург, Мира, 19
СложениеNгармонических колебаний одного направления, одинаковой амплитуды и частоты, начальные фазы которых образуют арифметическую прогрессию
Рассмотрим сложение N гармонических колебаний, происходящих вдоль оcи
, , ,…,
.
Рис. 5.8
Найдем с помощью векторной диаграммы амплитуду АР результирующего колебания (рис. 5.9). Для этого отложим вектор первого колебания амплитуды А из точки О, он будет составлять угол φ0 с осью Ох; вектор второго колебания будем откладывать из конца первого вектора, угол между вторым вектором и осью Ох будет равен (φ0+δ) и т.д. В результате получается ломаная линия, вписанная в окружность радиуса R. Вектор результирующего колебания замыкает эту ломаную линию и определяется следующим образом
Рис.
5.9
,
что позволяет написать
. (5.29)
Полученная формула будет использована при расчете результата многолучевой интерференции на дифракционной решетке.
Биения
Биения – это колебания, которые получаются в результате сложения двух гармонических колебаний х1 и х2 одного направления с близкими частотами (>>)/
, ,.
Рассмотрим подробнее результат сложения таких колебаний. Для простоты расчетов будем считать, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы:. Тогда используя известную формулу сложения косинусов
,
запишем
. (5.30)
Первый сомножитель в выражении (5.30) изменяется со временем значительно медленнее второго () и поэтому можно считать, что результирующее колебаниепредставляет собой колебание с циклической частотойи с изменяющейся со временем амплитудой
. (5.31)
Итак, биения можно представить как колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Эти колебания не являются гармоническими колебаниями.
В общем случае амплитуда биений изменяется в пределах, заключенных от до (). При этом период изменения амплитуды (период биений) и циклическая частотабиений будут определяться по формулам
, . (5.32)
На рис. 5.10 приведены графики зависимости амплитуды биений и смещениям.т. от времениt.
Рис. 5.10
Метод биений применяют, например, для настройки музыкальных инструментов, при анализе восприятия звуков человеком.
Наглядно биения можно продемонстрировать на опыте, в котором звуковой генератор возбуждает два колебания разной частоты, которые человеческое ухо различает как два отдельных звуковых сигнала. Если сближать частоты этих сигналов, то при некоторой разности частот (она зависит от слухового восприятия конкретного человека) вместо двух сигналов ухо человека будет воспринимать звуковой сигнал одной частоты, амплитуда которого будет изменяться, т.е. в этом случае наблюдаются биения. При дальнейшем сближении частот период биений будет увеличиваться и при совпадении частот сигналов будет слышен звук одной частоты, амплитуда которого не будет изменяться.
Биения можно использовать, например, для определения частоты какого-либо гармонического электрического колебания. Для этого на вход осциллографа подают гармонические колебания от звукового генератора (частоту этих колебаний можно изменять) и гармонические колебания с неизвестной частотой от какого-либо источника. По наблюдаемой на экране осциллографа картине биений определяют период биений и частоту колебаний (). Знак плюс или минус в записанной формуле определяется следующим образом: если при увеличении частотыгенератора период биений, наблюдаемых на экране, увеличивается, то тогда в формуле выбирается знак плюс (), в противном случае – знак минус ().