Стоячие волны. Колебания струны
Стоячей волной называют волну, образующуюся при сложении двух встречных волн одинаковой частоты и амплитуды
,
.
Для
простоты здесь рассмотрен случай
сложения двух плоских волн, распространяющихся
вдоль оси Ох
в положительном (
)
и отрицательном (
)
ее направлениях. Для уравнения стоячей
волны в соответствии с формулой сложения
косинусов можно записать
.
(6.21)
Из формулы (6.21) следует, что амплитуда стоячей волны
(6.22)
зависит
от координаты
выбранной точки пространства, изменяясь
от минимального значения, равного нулю,
до максимального значения, равного 2А.
Найдем
координаты точек пространства (
),
в которых наблюдается максимальная
амплитуда колебаний частиц среды, их
называют пучностями
стоячей волны,
и координаты
узлов стоячей
волны (
),
для них амплитуда колебаний частиц
среды равна нулю
(6.23)
(6.24)
Из
формул (6.23) и (6.24) следует, что расстояние
между соседними узлами 
и соседними пучностями 
стоячей волны одинаково и равно 
.
На
рис. 6.7 приведены фотографии стоячей
волны для трех моментов времени t=0,Т/4
,Т/2. На них
стрелками указаны направления движения
частиц среды. Из графиков видно, что все
частицы среды, находящиеся между
соседними узлами, совершают колебания
с разными амплитудами и с одинаковой
фазой (частицы одновременно достигают
положения равновесия и движутся в одну
сторону). При переходе через узел фаза
колебаний частиц изменяется на 
(частицы по разные стороны от узла
одновременно достигают положения
равновесия и движутся в противоположных
направлениях).
Как следует из графиков, приведенных на рис. 6.7, при образовании в среде стоячей волны в среде не происходит переноса энергии от источника
Рис. 6.7
колебаний, так как положение узлов и пучностей с течением времени не изменяется; перенос энергии встречных волн одинаковый и происходит в противоположных направлениях.
Наблюдается
переход потенциальной энергии колебаний,
сосредоточенной в основном в узлах см.
(рис. 6.7, момент времени
),
в кинетическую энергию колебаний,
сосредоточенную в основном в пучностях
стоячей волны см. (рис. 6.7, момент времени
)
и наоборот. Средний же по времени поток
энергии в любом сечении стоячей волны
равен нулю.
Действительно в соответствии с формулами (6.10), (6.12) и (6.21) для кинетической и потенциальной энергий частиц в случае стоячей волны можно записать следующие формулы
,
,
из
которых видно, что наибольшая потенциальная
энергия частиц наблюдается в узлах
стоячей волны (
),
а наибольшая кинетическая энергия
частиц будет в пучностях стоячей волны
(
).
Стоячие
волны обычно образуются при отражении
бегущей волны от границы раздела двух
сред. При этом возможны два случая. В
первом случае при отражении волны от
более плотной среды фаза волны изменяется
на значение, равное 
,
и на границе раздела (
)
образуется узел стоячей волны
Во втором случае при отражении волны
от менее плотной среды фаза волны не
изменяется, и на границе раздела (
)
образуется пучность стоячей волны
Если, например, в деревянной линейке, закрепленной на одном конце, возбудить стоячую волну, то на втором свободном конце будет либо пучность (отражение бегущей по линейке волны от границы раздела дерево – воздух, рис. 6.8,а), либо узел стоячей волны (отражение бегущей по линейке волны от границы раздела «дерево-вода», рис. 6.8,б). Причем на длине линейки укладывается половина длины волны.
Наиболее наглядным примером стоячей волны являются колебания струны, закрепленной на концах. Возбуждение в ней поперечных колебаний приводит к образованию стоячей волны, узлы которой приходятся на закрепленные концы
Рис. 6.8
(см.
§ 5.13, рис. 5.27,в и рис. 6.8,в). На длине струны
укладывается целое число полуволн, что
позволяет найти частоты нормальных
колебаний струны ( § 5.13, формула (5.92)):
,
,
n=1,2,3,…
Любое произвольное колебание струны можно представить в виде суммы ее нормальных колебаний.