Математика для инженеров(практика) I часть

§ 4. Системы линейных алгебраических уравнений

10. Основные понятия. Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2 ,..., xn назовем систему вида

ìa	x + a	x		+... + a		x	= b ,
ï 11 1 12 2					1n		n	1
ïa21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2									,	(1)
í......................................... ,
ï
ïa	x + a	m2	x	2	+... + a		x	= b .
î	m1 1					mn n			m

Числа aij , i = 1, m, j = 1, n , называются коэффициентами системы, а числа

bi , i = 1, m , – свободными членами (правыми частями).

Дальше выражение «алгебраических» для краткости опускаем.

Если все bi , i = 1, m , то система называется однородной; если хотя бы один из

свободных членов ненулевой, то система (1) называется неоднородной. Решением системы (1) называют любую упорядоченную совокупность n чисел (c1;c2 ;...;cn ) , которые при подстановке в каждое уравнение этой

системы на место соответствующих неизвестных обращают его в тождество. Систему (1) называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае – несовместной. Совместная система, имеющая только одно решение (больше чем одно решение), называется определенной (неопреде-

ленной).

Решить систему (1) означает выяснить совместная она или нет, и, если совместная, то найти все ее решения.

Например, если в системе (1) все aij = 0, i = 1, m, j = 1, n , то: 1) она несовместна, если есть хотя бы одно из bi не равно нулю; 2) система (1) имеет бесконечное множество решений при bi = 0 , i = 1, m , и, более того, любая упорядоченная совокупность n чисел (c1;...;cn ) будет ее решением. Систему (1) удобно записывать в матричной форме. Матрица

	æ a	a	...	a	ö
A =	ç a1121	a1222	...	a12nn ÷		,	(2)
	ç ...	...	...	...	÷
	ç a	a	...	a	÷
	è m1	m2		mn ø

состоящая из коэффициентов системы (1), называется матрицей этой системы. Введем также матрицу-столбец неизвестных x и матрицу-столбец свободных членов b:

x = col(x1; x2 ;...; xn ), b = col(b1;b2 ;...;bm ) .

Из определения произведения матриц следует, что левую часть системы (1) можно представить как произведение матрицы А на матрицу-столбец x, а ее

41

правая часть есть матрица-столбец b. Поэтому получаем матричную запись системы (1):

Ax = b .

(3)

Если (c1;c2 ;...;cn ) – решение системы (1), то матрица-столбец

col(c1;c2;...;cn ) удовлетворяет уравнению (3) и называется вектор-решением

системы (1).

Используя матрицы-столбцы коэффициентов системы (1), ее можно записать также в виде:

æ a11

ö

æ a12

ö

æ a1n ö

æ b1

ö

ç a

21

÷

ç a

22

÷

ç a

÷

ç b

÷

(4)

ç

÷ x

+ ç

÷ x

2

+ ... + ç

2n ÷ x

n

= ç

2

÷ .

ç

M

÷

1

ç

M

÷

ç

M ÷

ç

M

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è am1

ø

è am2

ø

è amn ø

èbm ø

Две системы называют эквивалентными или равнозначными, если они имеют одно и то же множество решений. Считаем, что всякие две несовместные системы с одинаковым числом неизвестных – эквивалентны.

Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие:

1)умножение уравнения системы на ненулевое число;

2)прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число;

3)перестановка местами двух уравнений системы.

При использовании элементарных преобразований получаем эквивалентную систему.

Пример 1. Записать систему
ì3x			+ 2x = -6,
ï	1			2	= 0,
íx1		- x2		+ x3
ïx		- x		= 2
î	1		3
в матричной форме.
					æ3		2	0 ö	, матрица-
Решение. Матрица А системы имеет вид ç						1	-1	1 ÷
					ç	1	0	÷
					è			-1ø

столбец свободных членов b = col(−6;0;2) . Тогда система в матричной форме примет вид

æ3		2	0 öæ x	ö	æ -6ö
ç	1	-1 1 ÷ç x1		÷	= ç	0	÷
ç	1	0	-1÷ç x2	÷	ç	2	÷
è			øè 3	ø	è		ø

или Ax = b , где x = col(x1; x2; x3 ) . □

42

20. Совместность линейной системы. При решении системы линейных уравнений нужно вначале выяснить ее совместность. Для этого введем понятие расширенной матрицы, которая получается из матрицы (2) при дописывании справа столбца свободных членов:

	æ a		a		...	a			b	ö
(A | b) =	ç a1121		a1222		... a12nn				b12	÷ .	(5)
	ç ...		...		... ...				... ÷
	ç a	m1	a	m2	...	a	mn		b	÷
	è								m ø
Теорема Кронекера-Капелли.		Для совместности неоднородной системы

линейных алгебраических уравнений (3) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Пример 2. Исследовать на совместность систему
ì4x		+ x	- x	= 5,
ï	1	2	3
í2x1		+ x3	= 2,		= 2.
ï2x		+ x	- 2x
î	1	2	3

æ 4		1	-1	ö	. Найдем ее
Решение. Матрица системы имеет вид A = ç	2	0	1	÷
ç	2	1	-2	÷
è				ø

ранг. В матрице A можно выбрать ненулевой минор, например,

	4	1		= -2 , но определитель всей матрицы							A			=			4	1	-1		= 0 .
																	2	0	1
	2	0															2	1	-2
Поэтому r(A) = 2 .
			æ		4	1	-1		5			ö			есть ненулевой минор
В расширенной матрице (A | b) = ç					2	0	1		2			÷
			ç		2	1	-2		2			÷
			è									ø

третьего порядка		1	-1	5		=1 . Поэтому r(A | b) = 3 . По теореме
		0	1	2
		1	-2	2

Кронекера-Капелли система несовместна. □

В общем случае при исследовании совместной системы используют сформулированные ниже утверждения.

Утверждение 1. Если ранг матрицы совместной системы равен количеству

неизвестных, то система имеет единственное решение.

Утверждение 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше количества неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 3. Исследовать на совместность систему

43

ì2x1 + x2 = 3, ïí3x1 - x2 - x3 = 0, ïîx1 - x2 + x3 = 2.

æ

2

1

0

3

ö

Решение.

(A | b) =

ç

3

-1

-1

0

÷

. Найдем ранг матрицы A.

ç

÷

ç

1

-1

1

2

÷

è

ø

Очевидно,

A

= -2 -1- 3 - 4 = -10 ¹ 0 . Поэтому, r(A) = 3 .

Ранг

расширенной

матрицы r(A | b) = 3 . Условие теоремы

Кронекера-Капелли выполняются, значит, система совместна. Причем, по утверждению 1, система имеет единственное решение. □

Пример 4. Исследовать на совместность систему
ì2x1		+ x2			- x3	= 0,
ï x		+ 3x			= 4,
íx 2- 3x 3- x = -4,
ï	1	2			4	+ x				= 4.
î	x + 4x				- x				4
	1	2			3
										æ 2		1	-1	0 ö
										ç	0	1	3	0 ÷
Решение. Матрица системы имеет вид A = ç											1	-3	0	÷ .
										ç				-1÷
										è	1	4	-1	1 ø
Найдем ее ранг. В матрице A можно выбрать ненулевой минор
третьего порядка, например,				2	1	-1			= 22 , но определитель всей
				0	1	3
				1	-3	0

матрицы
						2		1		-1			0					2	1	-1			2	1	-1
	A				=	0	1			3			0	=1×(-1)4+4			×				+ (-1) ×(-1)3+4	×				=
																		0 1		3			0	1	3
						1		-3		0			-1					1	-3	0			1	4	-1
						1		4		-1			1
=			2			1		-1		+		2	1	-1		= 22 - 22			= 0 . Поэтому r(A) = 3 .
			0			1		3				0	1	3
			1			-3		0				1	4	-1

Найдем ранг расширенной матрицы

44

		æ 2 1 -1 0									0 ö			æ1		-3 0			-1				-4ö
		ç		0	1 3 0						4	÷		ç	0	1 3			0				4	÷
(A | b) = ç				1	-3 0		-1				-4	÷		ç	1		-3 0		-1				-4	÷
		ç		1	4 -1 1						4	÷		ç	1	4 -1 1							4	÷
		è										ø		è										ø
	æ1		-3 0			-1			-4ö			æ1 -3					0	-1			-4ö
	ç	0	1 3				0		4	÷		ç	0		1		3		0		4		÷ .
	ç	0	0 0				0		0	÷		ç	0		0		0		0		0		÷
	ç	0			-7 1	-2			-8	÷		ç	0		0		22 -2				20		÷
	è									ø		è											ø
Поэтому r(A | b) = 3 .						Условие							теоремы					Кронекера-Капелли

выполняются, значит, система совместна. Причем, ранг матрицы совместной системы меньше количества неизвестных. Тогда, по утверждению 2, система имеет бесчисленное множество решений. □

30. Матричный метод. Рассмотрим частный случай системы (1), когда число уравнений равно числу неизвестных:

ìa x + a x +...+ a x = b ,
ï 11 1	12 2	1n n		1
ïa21x1 + a22 x2		+...+ a2 n xn		= b2	,
í				,	(6)
ï.........................................
ïa x + a x + ... + a			x = b .
î n1 1	n 2 2		n n n	n

Определителем системы назовем определитель ее матрицы

					a11	a12	...	a1n
D =		A		=	a21	a22	...	a2 n	.
					...	... ... ...
					an1	an 2	...	an n

Если матрица системы А невырождена (D ¹ 0) , то систему (6) называют

невырожденной. В противном случае ее называют вырожденной. Рассмотрим невырожденную систему (1) и запишем ее в матричной форме

(3). В силу ассоциативности умножения матриц и соотношения A−1A = E , получаем решение системы (6) в матричной форме

x = A−1b.

(7)

Пример 5. Решить систему из примера 3 матричным методом. Решение. Для решения системы матричным методом необходимо найти A−1 :

	A−1	æ 2		1 0 ö−1			1	æ	-2	-1 -1ö				1	æ 2		1 1 ö
		= ç	3	-1	-1÷	=		ç	-4	2	2	÷	=		ç	4	-2	-2	÷ .
		ç	1	-1	÷	-8		ç	-2	3	-5	÷		8	ç	2	-3	5	÷
		è			1 ø			è				ø			è				ø

45

	По формуле (7)
	x = A−1b =	1	æ 2		1	1	öæ 3		ö	æ	1	ö
			ç	4	-2	-2	÷ç	0	÷	= ç	1	÷ .
	8		ç	2	-3	5	÷ç	2	÷	ç	2	÷
			è				øè		ø	è		ø

Тогда x1 =1, x2 =1, x3 = 2 . □

Пример 6. Решить матричное уравнение

(

2 1)× X ×(0 1 )= (10 -1).

3 1

2

-1

16

-2

Решение. Обозначим A =

æ 2 1ö

,

æ0 1

ö

æ10 -1ö

ç

÷

B = ç

÷, C = ç

÷ . Тогда

è

3 1ø

è 2

-1ø

è16

-2ø

данное уравнение запишется в виде A × X × B = C . Умножим обе части

уравнения слева на A−1 , справа – на B−1 . Получим

A−1A× X × BB−1 = A−1CB−1 .

Учитывая, что A−1A = BB−1 = E , имеем X = A−1CB−1 . Т.е.

−1

−1

æ

2 1ö−1 æ10 -1

öæ0 1 ö−1

X = A CB

= ç

÷ ç

-2

֍

÷

=

è

3 1ø è16

øè 2

-1ø

æ 1

1 ö

æ 1

1 ö

= (-1 1 )(10 -1)×

ç

÷

= ( 6 -1)

ç

÷ = (

2 3 ). □

2 2

2 2

3

-2 16

-2

ç

1

0

÷

-2 1

ç

1

0

÷

0

-1

è

ø

è

ø

40. Правило Крамера. Пусть j – определитель, который получается из

основного определителя при замене j-го столбца на столбец свободных членов. Тогда из (7) можно получить формулы Крамера для нахождения решения системы (6):

	x j =	j	, j =		.	(8)
				1, n

Поэтому, если определитель системы (6) не равен нулю, то такая система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера (8).

													ì2x + x		2	= 5,
Пример 7. Решить систему í														1
													îx1	- 3x2 = -4.
Решение. D =									2	1		= -6	-1 = -7, D =					5	1		= -15 + 4 = -11,
									1	-3					1			-4	-3
D	2	=		2	5		= -8 - 5 = -13						. Тогда по формулам (8)
				1	-4

46

					D1		-11							11									D2			-13					13
		x1 =			D		= -7				=					, x2 =							D =			-7			=					. □
															7																7
Пример 8. Решить систему
								ì5x - x									- x						= 0,
								ï			1			2			3
								íx1 + x2 + x3 = 6,
								ï-x							+ x			+ 2x = 7.
								î					1	2									3
Решение. D =		5		-1			-1			= 6,					D1 =					0 -1 -1								= 6 ,
		1		1			1													6			1			1
		-1		1			2													7			1			2
D2 =				5			0	-1					=12,					D3				=			5	-1				0		=18 .
				1			6	1																	1	1				6
				-1			7	2																	-1	1				7
По формулам Крамера																												D3
x1 =	D1			6			1, x2 =						D2				12					= 2, x3										18			= 3 . □
		D =				=								D =												=		D		=
					6												6																6

50. Метод Гаусса. Распространенным точным методом решения систем (1) является метод Гаусса. Суть метода состоит в том, что посредством элементарных преобразований система (1) приводится к треугольной или трапециевидной форме, из которой все решения системы получаются непосредственно.

Рассмотрим систему (1), где коэффициент a11 ¹ 0 . Если бы было a11 = 0 , то на первое место в системе (1) поставили бы уравнение, в котором коэффициент при x1 отличен от нуля. Пусть далее в i-ом уравнении ai1 ¹ 0 .

Умножим обе части первого уравнения на æ - ai1 ö и сложим его с i-ым

ç ÷ è a11 ø

уравнением. В результате получим уравнение

(ai1a11 - a11ai1 ) x1 + (ai2a11 - a12ai1 ) x2 + (ai3a11 - a13ai1 ) x3 +... +

+(aina11 - a1nai1 ) xn = a11bi - ai1b1 ,

где коэффициент при x1 равен нулю.

Преобразуем таким образом все уравнения системы, в которых

ai1 ¹ 0 (i = 2, n) и, вычисляя соответствующие коэффициенты, получим систему

47

ìa x + a x +L+ a x = b ,
ï	11 1 12		2	1n	n	1
ï		¢		¢	¢	,
		a22 x2	+L+ a2 n xn = b2
í						(9)
ï		LLLLLLLLLL
ï	¢			¢		¢
î		am 2 x2	+L+ am n xn		= bm

в которой рамкой выделена так называемая остаточная часть системы.

Преобразование системы (1) в систему (9) выполнено с помощью ее первого уравнения, называемого разрешающим на данном шаге. Исключалась

переменная x1 , называемая разрешающей, коэффициент a11 при ней также

	æ a	ö
называется разрешающим, столбец коэффициентов	ç a1121	÷	при разрешающей
	ç M	÷
	ç	÷
	è am1	ø

переменной – разрешающим столбцом.

Если в системе (9) встретится уравнение вида 0× x2 + 0× x3 +... + 0× xn = bs′ , где bs′ ¹ 0 , то система (1) несовместна. Если этого не произойдет, то, предполагая, что a22′ ¹ 0 , из всех уравнений остаточной части системы (9), кроме первого, исключим, аналогично предыдущему, неизвестную x2 .

Продолжая процесс преобразования остаточных частей получающихся систем, придем к одному из двух случаев:

1) либо в ходе преобразований получаем уравнение вида

0× xk + 0× xk +1 + ...+ 0× xn = b , где b ¹ 0 , и тогда система (1) несовместна; 2) либо приходим к системе без остаточной части:

ì a11x1 +

a12 x2 +

... +

a1n xn = b1,

ï

¢

+

¢

+

... +

¢

¢

ïa22 x2

a23 x3

a2 n xn

= b2 ,

ï

¢¢

x

+

a

¢¢

x

+

... +

a

¢¢

x

¢¢

(10)

ía

= b ,

ï

33

3

34

4

3n

n

3

...

...

...

ï ...

ï

br r xr +

... +

br n xn

= cr ,

, a′

, a′′

î

где a

, ...,

b

отличны от нуля. Возможно уменьшение числа

11

22

33

rr

уравнений по сравнению с исходной системой ( r ≤ m ). Это связано с тем, что в процессе преобразований вычеркиваются уравнения вида

0× x j + 0 × x j+1 +... + 0× xn = 0 .

Процесс преобразования системы (1) к системе (10) называют прямым ходом метода Гаусса.

Если в системе (10) r = n , то она имеет треугольный вид. Из последнего уравнения bnn xn = cn находим xn , из предпоследнего – xn−1 и т.д. и, наконец, из первого – x1 , и, тем самым, – единственное решение системы (1).

Описанный процесс называют обратным ходом метода Гаусса.

48

Если r < n , то в результате обратного хода, r неизвестных можно выразить линейно через остальные (n - r) неизвестных. Эти r неизвестных называют

базисными, а остальные (n - r) – свободными. В результате получим
решение системы в виде:
ìx = c + c			x		+1	+ c x ,
ï 1	10 1 r+1			r			1n n
ïx2 = c20 + c2 r+1xr+1 + c2n xn ,								(11)
í....................................... ,
ï
ïx = c		+ c	r r+1	x	r+1		+ c x ,
î r	r0						rn n

которое называют ее общим решением.

Пример 9. Решить методом Гаусса систему

ì2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -7,
ï	x - 4x + 2x			= -1,
ï	1	2	3
í
ï3x1 - 7x2 + x3 - 5x4 = -8,
ï		x2 - 2x3 - x4 = -1.
î

Решение. Запишем в первую строку системы уравнение, в ко тором коэффициент при неизвестной x1 равен 1 (Если такого нет, то любое уравнение системы делим на коэффициент при неизвестной x1 и записываем в первую строку). Получим

ì x1 - 4x2 + 2x3			= -1,
ï2x - 3x - x - 5x = -7,
ï	1	2 3	4
í		- 7x2 + x3 - 5x4 = -8,
ï3x1
ï		x2 - 2x3	- x4 = -1.
î

Умножим первую строку на (–2) и сложим со второй. Запишем во вторую строку системы. Аналогично, умножим первую строку на (–3) и сложим с третьей. Запишем в третью строку. Имеем

ì	x - 4x + 2x				= -1,
ï	1	2	3	- 5x4
í		5x2	- 5x3		= -5,
ï		5x2	- 5x3	- 5x4	= -5,
î		x2	- 2x3	- x4	= -1.

Второе и третье уравнения одинаковы, поэтому одно из них из системы можно удалить. Получим

ì	x - 4x + 2x				= -1,
ï	1	2	3	- 5x4
í		5x2	- 5x3		= -5,
ï		x	- 2x	- x	= -1.
î		2	3	4

49

Разделим второе уравнение на 5. Будем иметь

ì	x - 4x + 2x			= -1,
ï	1	2	3
í		x2 - x3 - x4 = -1,
ï		x2 - 2x3 - x4 = -1.
î

Умножим вторую строку системы на (–1) и сложим с третьей. Получим

ì	x - 4x + 2x			= -1,
ï	1	2	3
í		x2 - x3 - x4 = -1,
ï			x3	= 0.
î

Согласно обратному ходу метода Гаусса подставим x3 = 0 во второе уравнение системы. Тогда

ì	x - 4x + 2x = -1,
ï	1	2	3
í		x2	= x4	-1,
ï			x	= 0.
î			3
					ì x		= 4x	- 5,
Подставляя x2 , x3 в первое уравнение получим					ï	1	4
					í x2		= x4	-1,
					ï x		= 0.
					î	3

Таким образом система имеет бесконечное множество решений вида

(4x4 - 5; x4 -1;0; x4 ) , где x4 Î . □

Группу базисных неизвестных назовем базисом системы неизвестных. Общее решение (11) записано относительно базиса (x1; x2; ...; xr ) . Ясно, что это решение можно записать относительно и других базисов, которых может быть не больше Cnr (число сочетаний из п по r).

Чтобы получить какое-нибудь частное решение системы (1), нужно придать свободным неизвестным некоторые числовые значения. Ясно, что в случае

r < п система (1) имеет бесконечное множество решений.

Замечание. На практике элементарным преобразованиям подвергают не систему уравнений, а ее расширенную матрицу (A b) . Применительно к

матричной записи процедура гауссовских исключений формализуется следующим образом. Первый шаг (исключение неизвестной x1 ) прямого

хода выполняется с разрешающим элементом a11 , второй шаг (исключение x2 ) – с элементом a22′ и т.д., c разрешающими диагональными элементами

матрицы.

Пересчет элементов матрицы выполняется по правилам:

1) элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными;

50