Tom_2

сходится при x <1. Если же x ³1, то данный ряд расходится.

Областью сходимости ряда является интервал (–1, 1).

Очевидно, суммой этого функционального ряда является

функция

S(x) =

x

, xÎ(-1,1),

т.е.

1

- x

x

= x + x2

+K + xn +K,

xÎ(-1,1) . □

1- x

Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся на

множестве

D1 Ì D ,

если

в каждой

точке x Î D1

сходится

ряд

∞

å

fn (x)

.

n=1

Пример 2. Исследовать сходимость функционального ряда

∞

2

x

å

cosn

.

2

n=1

n

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов

исходного ряда:

cos x

+

cos22 x

+K+

cos n2 x

+K.

(3)

2

2

2

n

2

1

При любом x R имеем соотношение

cosn2 x

£

1

. Числовой

n2

n2

1

ряд с общим членом

сходится, а тогда, по признаку сравнения, ряд

n2

(3) сходится при всех x N .

Значит, исходный ряд абсолютно сходится на множестве R. □

§ 2. Равномерная сходимость функциональных рядов

Образуем n -ую частичную сумму ряда (1.1):

Sn (x) = f1(x) + f2 (x) +K + fn (x), n =1, 2, ...,

x Î D .

Очевидно, если

фиксировать

x = x0 , x0 Î D , то

{Sn (x0 )}

есть

числовая последовательность. Если существует конечный lim

S

n

(x ) ,

n→∞

0

то он равен

S(x0 ) . По определению предела, это означает,

что для

любого ε > 0 существует номер

N0 , N0 Î

такой,

что для любого

n > N0 : Sn (x0 ) - S(x0 ) < ε .

Подчеркнем, что здесь номер N0 зависит, вообще говоря, и от ε , и от точки x0 . Особый интерес представляет случай, когда можно

24

указать номер N0	такой, что он зависит от ε и не зависит от выбора
точки x0 , x0 D .	любого ε > 0 существует		номер N0 , N0 ,
Если для
зависящий лишь от ε		и не зависящий от x , x D , такой, что для
любых x D и n > N0		выполняется неравенство		Sn (x) − S(x)		< ε , то

говорят, что функциональный ряд (1) равномерно сходится в области

D .

Из критерия Коши равномерной сходимости последовательности {Sn (x)} (Т.1., теорема 5.15.1) непосредственно

вытекает критерий Коши равномерной сходимости ряда (1.1).

Теорема 1 (критерий Коши). Для равномерной сходимости функционального ряда (1.1) на множестве D необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало N0 = N0 (ε)

такое, что для каждого n > N0 , для каждого натурального p и для всех x D выполнялось неравенство

		n+ p
		å fk (x)	< ε .	(1)
		k=n+1
Проверка	критерия	Коши	равномерной	сходимости

функционального ряда во многих случаях затруднительна. Поэтому, на практике используют достаточные признаки равномерной

сходимости ряда, проверять которые, как правило, более просто.

Теорема

2

(признак

Вейерштрасса).

Если

члены

∞

функционального ряда

å fn (x)

определены на множестве D и по

n=1

модулю не превосходят

соответствующих

членов

сходящегося

∞

знакоположительного

числового

ряда åan ,

т.е.

для

всех

x D

выполняется

n=1

≤ an ,

n N ,

fn (x)

то этот функциональный ряд равномерно сходится на множестве D.

Доказательство. В соответствии с критерием Коши сходимости

∞

знакоположительного числового ряда

åan

имеем,

что для любого

n=1

n+ p

ε > 0 существует

такой

номер

N = N(ε ) ,

что

å ak < ε для всех

k=n

25

n > N и любых натуральных p .							Поэтому получаем, что для всех
n > N , любых натуральных p и x D справедливо неравенство
	n+ p			n+ p					n+ p
	å fk (x)		≤	å		fk (x)			≤ å ak < ε .
	k=n			k=n					k=n

Значит, по теореме 1, функциональный ряд (1.1) сходится равномерно на множестве D . □

Отметим, что функциональный ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 2, называют мажорируемым, а соответствующий числовой ряд называется мажорирующим.

Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость ряд

			∞
		å		sin nx	.						(2)
				n
			n=1 2
						sin nx			≤	1
		Решение. Очевидно, для любых n N, x R :									. Ряд
	∞					2n				2n
		1
	å		сходится. Значит, ряд (2) сходится равномерно на R. □
		n
	n=1	2
		§ 3. Непрерывность суммы функционального ряда
		Пусть имеем функциональный ряд
			∞
			å fn (x), x D .								(1)

n=1

Теорема 1. Если члены функционального ряда (1) являются непрерывными в области D функциями и ряд (1) равномерно сходится в D, то его сумма является функцией, непрерывной в D.

Доказательство. Пусть x0 D .

Обозначим Sn (x)

– n-ую

частичную сумму ряда (1), rn(x) – остаток ряда. Тогда

S(x) = Sn (x) + rn (x), S(x0 ) = Sn (x0 ) + rn (x0 ) .

Вычитая почленно второе равенство из первого, имеем

S(x) − S(x0 ) = Sn (x) − Sn (x0 ) + rn (x) − rn (x0 ).

Отсюда и из неравенства треугольника, получаем

S(x) − S(x0 )

≤

Sn (x) − Sn (x0 )

+

rn (x) − rn (x0 )

.

(2)

Функция Sn (x) при любом n

непрерывна на D.

Поэтому

для любого ε > 0 можно указать такое

δ > 0 , что при

x − x0

< δ

26

выполняется

неравенство

S

n

(x) − S

n

(x )

≤ ε . В силу

равномерной

0

3

сходимости ряда (1),

для любого ε > 0 можно указать такой номер

N = N(ε ) , что при всех n > N и всех

x D выполняется неравенство

r (x)

< ε , в частности,

r (x

)

< ε .

n

3

n

0

3

Значит, для любого ε > 0

можно указать такое δ > 0 , что при

всех

x D

таких,

что

x − x0

< δ ,

выполняется

неравенство

S(x) − S(x )

≤ ε + ε + ε = ε ,

что и означает непрерывность функции

0

3

3

3

S(x)

в точке x0 . □

Отметим, что утверждение теоремы 1 можно выразить

формулой

∞

∞

lim å fn (x) = å lim

fn (x) ,

x→x0 n=1

n=1 x→x0

которая означает, что в данном случае возможен предельный переход под знаком суммы ряда.

§ 4. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов

	Рассмотрим ряд (3.1).
	Теорема 1. Если ряд (3.1) из непрерывных функций										fn (x)
сходится равномерно на [a;b]									x
						к сумме S(x) , то интеграл òS(x)dx,
где α [a; b],									α
			x [a; b] , равен сумме таких же интегралов от членов
д	а	н	н	о	г	о	р	я	д	а	.
	Доказательство.				Представим		сумму	ряда	(3.1)		как

S(x) = Sn (x) + rn (x) . Вследствие равномерной сходимости этого ряда,

имеем для всех n > N0				rn (x)		< ε , где ε	– как угодно малое число,
и x [a;b] .
	Получаем
x	x	x				x	x	x
òS(x)dx = òSn (x) dx + òrn (x) dx = ò f1(x) dx +K+ ò fn (x)dx + òrn (x)dx ,
α	α	α				α	α	α

27

x

x

x

но

rn (x)

< ε и

òrn (x) dx

£ ò

rn (x)

dx < òε dx £ ε (b - a) .

α

α

α

x

æ x

1

x

n

ö

Поэтому

ò

ç ò

+

ò

f

÷

< ε (b - a) .

S(x) dx - ç

f (x) dx +K

(x)dx÷

α

èα

α

ø

Следовательно,

x

x

x

òS(x)dx = ò f1(x) dx +K+ ò fn (x)dx +K .□

α

α

α

Теорема 2. Если ряд (3.1), состоящий из непрерывных функций, имеющих на [a; b] непрерывные производные, сходится на этом отрезке к сумме S(x) , а ряд, составленный из производных

∞

f1¢(x) + f2¢(x) +K+ fn¢(x) +K = å fn¢(x) ,

n=1

сходится на [a; b] равномерно, то сумма ряда из производных равна производной от суммы ряда (3.1), т.е. S¢(x) = å fn¢(x).

Доказательство. Обозначим сумму ряда из производных через F(x) = f1′(x) + fn′(x) +K . По условию, ряд из производных равномерно

сходится на [a; b] , следовательно, к нему применима теорема 1 об интегрировании функционального ряда:

x	x	x
	¢	¢	(x) dx +K =
ò F(x)dx = ò f1(x) dx +K+ ò fn
α	α	α
= f1(x) +K+ fn (x) +K - f1(α) -K- fn (α) -... = S(x) - S(α),
α Î[a, b],	x Î[a, b],

x

или ò F(x)dx = S(x) - S(α) . Дифференцируя полученное равенство по

α

х, получаем F(x) = S¢(x), xÎ[a, b] . □

§ 5. Степенные ряды

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x .

Функциональный ряд вида

c0 + c1(x - a) + c2 (x - a)2	∞
	+K + cn (x - a)n +K = åcn (x - a)n , (1)
	n=0

28

где cn Î N, n = 0,1,K, a Î R , называется степенным рядом.

Числа c0 , c1,K,cn ,K называются коэффициентами степенного ряда (1). Если a = 0 , то ряд (1) имеет вид

c0 + c1x + c2 x2	∞
	+K + cn xn +K = åcn xn .	(2)

n=0

Будем рассматривать только такие степенные ряды, т.к. полагая в (1) x − a = y , получаем ряд вида (2).

Степенной ряд (2) всегда сходится в точке x = 0 . Если x ¹ 0 , то ряд (2) может сходиться, а может и расходиться.

Важную роль в теории степенных рядов играет следующая

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится в точке x0 ¹ 0 , то во всех точках x, x < x0 , он сходится абсолютно. Если в

точке x1 ¹ 0 степенной ряд (2) расходится, то он расходится во всех точках x, x > x1 .

∞

Доказательство.

По условию теоремы,

числовой ряд

åcn x0n

lim c xn = 0 .

n=0

сходится, значит

Следовательно,

последовательность

{cn x0n }

n→∞

n

0

является

ограниченной,

т.е.

M > 0

такое, что

cn x0n

£ M ,

n = 0,1,K Пусть x такое, что

x

<

x0

, тогда

c xn

£

c xn

×

x

n £ Mqn , n = 0,1,... ,

n

n 0

x0

x

∞

где q =

<1. Но ряд

å Mqn

при таких

q

сходится,

тогда по

x0

n=0

∞

признаку сравнения сходится и ряд å cn xn . Первая часть теоремы

n=0

доказана.

Вторую часть теоремы докажем от противного. Пусть существует x2 , x2 > x1 , такое, что ряд (2) сходится при x = x2 , тогда

он сходится и при x < x2 . В том числе, при x = x1 , что противоречит условию. Теорема доказана полностью. □

Теорема Абеля дает ясное представление об области сходимости степенного ряда. Для наглядности воспользуемся следующим приемом. Окрасим мысленно в зеленый цвет каждую точку сходимости ряда (2), а в красный цвет – каждую точку расходимости

29

ряда (2). Ясно, что точка x = 0 всегда будет зеленой. Если степенной ряд сходится всюду на , то вся числовая ось будет зеленой. Если степенной ряд везде расходится, то вся ось, за исключением точки x = 0 , будет красной. Если какая-нибудь точка x0 ¹ 0 будет зеленой,

то зелеными будут и все точки, лежащие между x0 и x = 0 , а также между -x0 и x = 0 . Если какая-либо точка x1 > 0 будет красной, то будут красными все точки, лежащие правее точки x1 . Если точка x1 < 0 будет красной, то будут красными все точки, лежащие левее

точки x1 .

Так как каждая точка числовой оси является либо зеленой, либо красной, то, идя от точки x = 0 вправо по числовой оси, сначала будем встречать только зеленые точки, а затем – только красные точки, причем граничная или разделяющая эти разноцветные участки точка R может быть или зеленого, или красного цвета. То же самое можно сказать, если идти налево от точки x = 0 , в частности, в точке

x = −R ряд может или сходиться, или расходиться (рис. 1).

Рис. 1

Число R называется радиусом сходимости ряда (2), интервал (−R; R) – интервалом сходимости. Если ряд (2) сходится только в

точке x = 0 , то R = 0 ; если ряд сходится для всех x R , то R = +∞ . Подчеркнем, что в каждой точке x (−R; R) ряд (2) будет

сходиться абсолютно, в точках x = ±R может сходиться, а может и расходиться.

Теорема 2. Если существует предел lim

cn+1

= l , то радиус

cn

n→∞

сходимости R ряда (2) равен

1

, т.е. R =

1

.

l

l

∞

cn xn

Доказательство.

Рассмотрим ряд å

. Применим к нему

признак Д’Аламбера. Имеем:

n=0

c

xn+1

c

lim

n+1

= lim

n+1

×

x

= l

x

.

c xn

cn

n→∞

n→∞

n

30

1

∞

Отсюда

следует,

что,

если

l

x

<1,

x

<

,

то

ряд

åcn xn

l

n=0

сходится, причем сходится абсолютно.

Если

l

x

>1,

то

ряд

(2)

расходится,

так

как

c

xn+1

lim

n+1

= l

x

>1

и,

следовательно,

общий член ряда

c xn

не

n→∞

c xn

n

n

стремится к нулю при n → ∞ . □

Заметим, что если l = 0,

то R = ∞, если же l = ∞ , то R = 0 .

Теорема 3. Если существует предел

= l ,

то радиус

lim n

c

n→∞

n

сходимости ряда (2) R =

1

.

l

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству

теоремы 2.

Упражнение 1. Доказать теорему 3.

Пример 1. Найти радиус сходимости и интервал сходимости

следующих степенных рядов:

∞

∞

∞

xn

∞

æ

1

ön2

а) å2n xn ; б)

ån!xn ; в)

å

; г) åç1

+

÷

(x -1)n .

n!

n

n=0

n=0

n=0

n=1è

ø

Решение. а) Для нахождения радиуса сходимости в данном

случае применим формулу теоремы 3:

1

= lim n

= lim 2 = 2,

R =

.

2n

l = lim n

c

n→∞

n

n→∞

n→∞

2

Значит,

внутри

интервала

çæ

-

1

;

1

÷ö

исходный

ряд будет

è

2

2 ø

сходиться. Проверим его сходимость на границах интервала.

1

∞

æ 1

ön

Если x =

, то ряд примет вид

å 2n

ç

÷

=1+1+ ... и, очевидно,

2

2

n=0

è

ø

является расходящимся.

ön

1

∞

æ

1

Е с л и x = -

, т о и м е е м

å 2n

ç

-

÷

=1-1+1-K , р я д

2

2

n=0

è

ø

р

а

с

х

о

д

и

т

с

я

.

31

∞

Следовательно, степенной ряд å2n xn сходится абсолютно на

n=0

интервале çæ

-

1

;

1

÷ö .

è

2

2 ø

б) Здесь воспользуемся формулой теоремы 2:

l = lim

cn+1

= lim

(n +1)!

= lim (n +1) = ¥,

R = 0 ,

n→∞

cn

n→∞

n!

n→∞

т.е. степенной ряд сходится только в точке x = 0 .

в) Поступаем аналогично, как в примере б):

l = lim

cn+1

= lim

n!

= lim

1

= 0,

R = ¥ ,

cn

(n +1)!

n→∞

n→∞

n→∞ n +1

т.е. ряд сходится на всей числовой прямой (−∞;+ ∞) .

г) Этот ряд имеет вид (1). Найдем радиус сходимости по

формуле теоремы 3:

1

1

R =

=

= e−1 .

1 ön

c

æ

lim n

n→∞

n

lim

ç1+

÷

n→∞ è

n ø

Интервалом сходимости является промежуток (1- e−1; 1+ e−1) . За пределами данного промежутка ряд расходится. □

Упражнение 1. Показать, что в граничных точках 1± e−1 не выполнен необходимый признак сходимости.

Пример 2. Найти интервалы сходимости следующих степенных рядов и исследовать их сходимость на концах интервалов сходимости:

∞

x

n

∞

n

а) å

;

б) å

nx

.

n3n

n=1

n=1 n +1

Решение. а) Имеем:

cn+1

n3n

n

1

l = lim

= lim

= lim

=

, R = 3 .

cn

3(n +1)

3

n→∞

n→∞ (n +1)3n+1

n→∞

Значит, интервал (–3; 3) является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем поведение ряда в граничных точках. Пусть

	∞	n	∞	1
	x = 3 , тогда ряд имеет вид å	3	, т.е. å		. Это гармонический ряд,
		n3n		n
	n=1		n=1
	и он расходится.

32

∞

(-3)

n

∞

(-1)

n

Пусть теперь x = −3. Будем иметь: å

или å

.

n3n

n

n=1

n=1

Этот ряд является знакочередующимся, по признаку Лейбница

∞

n

он сходится. Таким

образом, степенной

ряд

å

x

сходится

на

n

промежутке [-3;3).

n=1

n3

б) Имеем:

R =

1

=

1

= lim

(n + 2) n

=1,

c

n

+1 n +1

lim

n→∞ (n +1)2

lim

n+1

+ 2

n

cn

n→∞

n→∞ n

интервал сходимости (−1;1) .

Если x = ±1, то

lim a = lim

n

(±1)n ¹ 0 .

n→∞ n

n→∞ n +1

∞

n

Согласно необходимому условию, в точках x = ±1 ряд å

nx

n=1 n +1

расходится. Таким образом, исходный ряд сходится только на промежутке (−1;1) . □

Сформулируем основные свойства степенных рядов (2) с интервалом сходимости (−R; R) :

1.Степенной ряд (2) сходится равномерно на любом отрезке, содержащемся в (−R; R) .

2.Сумма S(x) степенного ряда (2) является непрерывной функцией в интервале сходимости (−R; R) .

	∞		∞
3. Степенные ряды	åan xn	и	åbn xn , имеющие радиусы
	n=0		n=0
сходимости соответственно	R1 и	R2 ,	можно почленно складывать,

вычитать и умножать, причем радиус сходимости полученных таким образом рядов равен меньшему из чисел R1 и R2 .

4. Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости (−R; R)

можно почленно дифференцировать.

5. Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости (−R; R) .

Отметим, что свойства 1. − 5. справедливы и для степенных рядов вида (1).

33