2. Общие теоремы динамики точки

Динамика – изучает движение различных механических систем в зависимости от причин (сил), вызывающих и влияющих на него.

1. Теорема об изменении количества движения точки.

Пусть на материальную точку массой m действует сила, тогда теорема об изменении количества движения:(изIIзакона Ньютона) (*)

– теорема в дифференциальной форме.

– элементарный импульс.– импульс силы.

При – изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени = импульсу силы за тот же промежуток времени.

Первые интегралы:

: (*)

:–кривая, находящаяся в плоскости || Ох.

2.Теорема об изменении момента количества движения.

;;

, т.к..

,– момент силы;– момент количества движения.

Первые интегралы:

1) ,– центральная сила, её момент относительно центра равен 0.

и1-ой плоскоститраектория точки – плоская.

Точка под действием центральной силы движется по плоской траектории с постоянной секторной скоростью, т.е. так, что радиус-вектор точки за равные промежутки времени заметает равные площади.

2) ;.

3. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

;

элементарная работа силы

Интегрируем:

Изменение кинетической энергии точки на некотором перемещении равняется работе сил, действующих на точку на этом же перемещении.Если силы, действующие на точку, являются потенциальными, то:

,или–закон сохранения механической энергии точки.

3. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сеч-я перемещ-ся поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси.

Между прогибами y(x) и углами поворота сечений θ(x) существует определенная зависимость. Из рис. видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y^/=tgθ. Следовательно, tgθ=tgφ=y^/. Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M_z и жесткости EI_z:

. (1)

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

. (2)

Приравнивая правые части (1) и (2) и учитывая, что правила знаков для M_z и y^// были приняты независимо друг от друга, получаем

. (3)

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ=0.1 рад (y^/)²=0.01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

. (4)

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производнойy^//. Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знакиy^//иM_zсовпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знакиy^//иM_zпротивоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (4) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M_zсодержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (4), находим сначала углы поворота сечений

,

(5)

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

(6)

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Билет 9