2. Принцип Остроградского-Гамильтона

Вариационные принципы состоят в том, что вводится некоторая функция, зависящая от координат и их производных, которая на действительном движении достигает экстремума. Эта функция должна быть задана на каком-то классе движений. Этот класс называется классом возможных или кинематически допустимых движений.

1835г. - Гамильтон сформулировал для стационарных связей.

1848г. – Остроградский обобщил для любых связей.

Это интегральный вариационный принцип.

Пусть в течение времени система переходит из положения А в положение В.

.

Траектория, которую опишет изображение точки, называется прямой путь. Любой другой путь называется окольным путем. Кинематически допустимыми являются все возможные перемещения системы из А в В, происходящие за один и тот же момент времени .

Получим функционал, который на прямом пути достигает экстремума, исходя из уравнений Лагранжа 2-го рода.

Рассмотрим движение голономной системы с идеальными связями и потенциальными силами.

, где-число степеней свободы. Домножим наи сложим:

и (все окольные пути проходящие через точки А и В).

, где (действие по Гамильтону).

Принцип:

Действительное движение голономной системы между двумя заданными конфигурациями отличается от всех кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и в тот же промежуток времени тем, что для действительного движения вариация действия по Гамильтону равна 0. Или другими словами действие по Гамильтону на действительное движение имеет стационарное значение.

Замечание: Принцип Остроградского-Гамильтона может быть обобщен и на случай неконсервативных систем и на случай неголономных систем с линейными кинематическими связями.

3. Канонические уравнения метода сил при изгибе балок и рам

Общий метод расчета любой статически неопределимой системы можно получить на основании теоремы Кастильяно и линейной зависимости м-ду обобщенными силами и обобщ-ми перемещениями.

Рассмотрим конструкцию, состоящую из изгибаемых стержней, имеющую лишних неизвестных,,…,. На основании выражения для потенциальной энергии деформированного тела имеем

,

где  изгибающий момент, возникающий в -ом стержне,и модуль упругости и модуль сдвига материала -го стержня,и площадь поперечного сечения и осевой момент инерции -го стержня, длина -го стержня,и изгибающий момент и поперечная сила, возникающие в -ом стержне,, ширина отсеченной части -ого стержня, статический момент отсеченной части -ого стержня.

С учетом линейной зависимости между усилиями в стержнях и обобщенными силами, имеем

₍₁₎

где  изгибающий момент в -ом стержне от обобщенной силы, изгибающий момент в том же стержне от нагрузки на конструкцию,  поперечная сила в -ом стержне от обобщенной силы, поперечная сила в том же стержне от нагрузки на конструкцию. Тогда

(2)

На основании формулы для обобщенных перемещений имеем

где  обобщенное перемещение, соответствующее обобщенной силе , при действии силы, то же от действия только нагрузки.

Поскольку , то прина основании соотношений (2) следует, что лишние неизвестные удовлетворяют следующей системе уравнений

(3)

Таким образом, расчет любой статически неопределимой системы сводится к составлению и решению системы уравнений (3) (канонической системы метода сил). После этого усилия в элементах конструкций вычисляются с помощью формулы (1). Коэффициенты системы (3) вычисляются на основании интегралов Максвелла  Мора (интегралов Мора) и правила Верещагина.

Билет 45