3. Модель идеальной жидкости и газа. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости. Сопло Лаваля

Опр: жидкость наз-ся идеальной, если на площадке соприкосновения двух движущихся объектов действуют лишь нормальные силы давления. Касательные силы трения=0 в случае идеальной жидкости. - по нормали.

Тензор напряжений: Уравнения движения идеальной жидкости и газа. Так как нет касательных напряжений, т.е.

; -коэф. вязкости в уравнении Новье-Стокса:

• получаем уравнения Эйлера: - замкнутая система

-уравнение неразрывности

Уравнения Эйлера в декартовых координатах + уравнение неразрывности:

Интеграл Бернулли

Опр: Линии тока- линии, такие что в данный момент времени t касательная к линии совпадает с вектором скорости.(L)

- диф. уравнение линий тока.

Предположим, что выполняются условия:

1.движение установившееся 2.внешние силы потенциальны:

3.условие баротропии

Тогда ;;

=>=>- интеграл Бернулли

где - функция давления

1. ρ=const => ; 2.=>

Интеграл Бернулли справедлив вдоль линий тока или вихревых линий - вектор вихря

Сопло Лаваля - газовый канал, суженный в середине, разгоняющий проходящий по нему газовый поток до сверхзвуковых скоростей. 

Отношение локальной скорости к локальной скорости звукаобозначается числом Маха, которое также понимается местным, то есть зависимым от координаты:

* При дозвуковой скорости движения газа (M < 1), производная  - сопло сужается.

* При сверхзвуковой скорости движения газа (M > 1), производная  - сопло расширяется.

* При движении газа со скоростью звука (M = 1), производная  - площадь поперечного сечения достигает экстремума, то есть имеет место самое узкое сечение сопла, называемое критическим.

Билет 25

1. Интегральная теорема Коши

Для любой функции f(z), аналитической в некоторой односвязной областии для любой замкнутой кривойсправедливо соотношение

Доказательство

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана)

[[Условия Коши — Римана, или условия д’Аламбера — Эйлера — условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного , обеспечивающие бесконечную непрерывную дифференцируемостьf(z) как функции комплексного переменного ]]следует, что дифференциальная форма замкнута[[Дифференциальная форма называетсязамкнутой, если её внешняя производная равна 0.]]. Пусть теперь Γ — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции f(z), ограничивающий область D. Тогда по теореме Стокса[[Теорема Стокса.Циркуляция в-ра вдоль кривой равно потоку ротора в-рач/з пов-ть, натянутую на эту кривую]] имеем:

2. Элементарная теория гироскопов. Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки

Определение: гироскопом обычно называют быстро вращающееся вокруг оси симметрии однородное тело, ось которого может менять положение в пространстве.

Рассмотрим гироскоп, закрепленный так, что его центр тяжести совпадает с неподвижной точкой O его оси. Такой гироскоп вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью _{, т.к. угловая скорость направлена в данном случае по главной центральной оси инерции, то кинетический момент} гироскопа относительно точки O будет направлен по той же оси и ,I – момент инерции гироскопа относительно его оси. Если никакие внешние силы (кроме силы тяжести) на гироскоп не действуют, то главный момент внешних сил относительно центра O равен 0 => из теоремы об изменении кинетического момента получаем , посколькунаправлен при этом вдоль оси симметрии, тоось в этом случае будет сохранять свое начальное положение относительно инерциальной системы отсчета, абудет постоянной. Если же на гироскоп действуют какие-то внешние силы, то кроме собственного вращения гироскоп будет совершать прецессионное и нутационное движение =>

- угловая скорость. Компонентой - скоростью нутации пренебрегают (мала), а- скорость прецессии считается много меньше(т.к. гироскоп считается быстро вращающимся) => при данных допущениях кинетический момент имеет значение и также в любой момент времени напрвлен по оси гироскопа. 2. Теорема Резаля: Скорость конца вектора кинетического момента равна численно и по направлению главному моменту внешних сил,т.е. ,

Рассмотрим движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

Система уравнений Эйлера - Пуассона:

После интегрирования данной системы мы получим как функции времени.

Из кинематических уравнений Эйлера =>отt.

Получим соотношение вида ,.

Три первых интеграла существуют всегда, это классические первые интегралы.

1. Интеграл кинетического момента

т.к. => .

Т.к. получим:

2. Интеграл энергии

Предположим, что связь идеальная:

В неподвижной точке потенциальная энергия равна 0.

3. Т.к. -направляющие косинусы, то:

4. Четвертый интеграл был найден только в трех частных случаях:

- Эйлера - Пуансо, в предположении, что кинетический момент силы , центр тяжести.

- Лагранжа – Пуассона, в предположении, что и центр масс.

- Ковалевской, в предположении, что центр тяжести.