2. Общие теоремы динамики системы

Диф. уравнения движения сис-мы:

Основная задача динамики состоит в том, что бы зная действующие силы, внешние и внутренние, определить закон движения всех точек системы.

Теорема о движении центра масс:

,=>продифференцировав дважды по t получим=>- произведение центра масс на ускорение этого центра равно сумме всех внешних сил.Вывод: значение теоремы она даёт обоснование динамики точки она позволяет исключить из рассмотрения неизвестные внутренние силы

а) при отсутствии внешних сил ЦМ движется прямолинейно равномерно.

б) если внешние силы таковы что их проекция на какую-либо ось равна 0, то проекция скорости на эту ось постоянна.

Теорема об изменении количества движения сис-мы:- главный вектор количества движения сис-мы=>- производная по времени от количества движения сис-мы равно сумме внешних сил, действующих на сис-му. 1-ый интеграл дает при:

а) =>б)=>

Теорема об изменении кинетического момента КМС

- момент инерции отн-но оси

- кинетический момент

Теорема об изменении кинетического момента:

Производная по времени от кинетического момента отн-но некоторого центра равна сумме моментов внешних сил отн-но того же центра.

Первые интегралы (законы сохранения):

1. - по величине и направлению

2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

(дифференциал кинетической энергии системы равняется сумме элементарных работ как внешних, так и внутренних сил, действующих на систему).

3. Устойчивость упругих стержней. Критическая сила

Устойчивость первого рода  нарушение устойчивости равновесия деформируемых тел, происходящее вследствие отклонений от формы равновесия, которые не могут быть вызваны действующей нагрузкой.

Устойчивость второго рода  нарушение устойчивости, происходящее вследствие того, что сопротивление деформированию с возрастанием нагрузки уменьшается или остается постоянным ввиду возникновения пластических деформаций.

Наиболее общий случай потери устойчивости первого рода для сжатых стержней любого профиля  изгибная форма устойчивости. Рассмотрим прямолинейный стержень с шарнирно-закрепленными концами, показанный на рисунке 1, сжатый силой .

Рисунок 1  Стержень с шарнирно-закрепленными концами

Отклонение от прямолинейно формы равновесия состоит в искривлении оси стержня. В этом случае для любого сечения имеем . (1)

На основании дифференциальной зависимости между прогибом и изгибающим моментом ( момент инерции сечения относительно нейтральной оси), или с учетом формулы (1).

Обозн . Тогда.ОтсюдаИз граничных условий имеем,.

Таким образом . (2) Выражение (2) описывает критическое состояние и позволяет найти критическую силу , Практический интерес представляет наименьшая критическая сила ():. (3) Формула (3) впервые получена Л. Эйлером, поэтому критическая силаназывается также эйлеровой критической силой. Критическую силу в случае любого закрепления концов стержня можно определить по формуле (3), если в ней длину стержня заменить длиной полуволны синусоиды, по которой изгибается стержень при данном закреплении. Обозначим длину полуволны. Тогда. В рассмотренных нами случаях имеем:

а) при шарнирном закреплении концов, показанном на рисунке ,(количество длин полуволн показано на рисунке 2, а);

б) при заделке одного конца стержня ,(количество длин полуволн показано на рисунке 2, б);

в) при шарнирном закреплении одного конца стержня и защемлении другого конца ,(количество длин полуволн показано на рисунке 2, в);

г) при заделке двух концов стержня ,(количество длин полуволн показано на рисунке 2, г);

а	б	в	г
Рисунок 2  Количество длин полуволн для стержней с различными закреплениями концов

Таким образом, формула Эйлера (3) для опр-ния критической силы принимает вид: , (4)

где  коэффициент приведения длины.

Для шарнирно закрепленного стержня , для стержня с заделанными концами; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом. Отметим, что по формуле (4) критическую силу следует вычислять по значению главного центрального момента инерции(за исключением случаев, когда закрепления концов стержня в различных плоскостях различны).

Билет 16