2. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Давление на ось

Вращательным движ.тв.тела вокруг неподв.оси наз.движ.,при кот.остаются неподвиж.его 2 точки.

Пусть на это тело действ.силы . Треб.опр.3-н.вращения тела вокруг оси и реакции в т-ках закрепления. Для вывода уравнения движения применим теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси,которую примем за осьZ.

-д.у. движения

Давление на ось.

Т-ма об изминении кол-ва движения.

Т-ма об изминении кинетического момента.

Спроектируем на оси, а затем перейдём к полярным координатам.

И обозначим ;

Последнее уравнение системы не содержит реакций и , следовательно даёт уравнение вращения твёрдого тела около неподвижной оси; интегрируя это уравнение найдём сначала угловую скорость , а затем и уголв функции времениt. Остальные пять уравнений содержат проекции неизвестных реакцийAиB, число которых равно 6.

Если в левых частях этих уравнений положить , то ур.примут вид обычных урав.равновесия и будут служить для определения статических реакций.

Реакции, возник.при вращении назыв.динамическими. “?” при каких условиях добавочных давлений на ось не возникает,т.е. когда динам.реакции равны статич.

Для этого необх.и дост., чтобы левые части ур-ий 1,2,4,5 обращались в 0.

Следовательно-центр масс лежит на оси вращения ,-ось вращения явл.главной центральной осью инерции.

3. Уравнения Ламе движения упругого тела в перемещениях

- ур-е движения в напряжениях

Используя з-н Гука для изотропного тела , гдеи уравнений совместности. Получ-ся диф-е ур-я Ламе, где

Здесь . Уравнения (6) называются уравнениями Ламе или же уравнениями движения (а при – уравнениями равновесия) в перемещениях. Эти уравнения чаще всего используются в теории упругости для решения 2–ой основной задачи – определения напряженно-деформированного состояния тела по заданным на его границеS перемещениям, а в случае зависимости решения от времени t – при заданных на S граничных условиях

и начальных условиях для всех точек тела.

Билет 22

1. Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор в-ра. Т-ма Гаусса-Остроградского. Т-ма Стокса

Дана обл-ть().

Будем говорить, что в обл задано скалярное поле, если тставится в соотв по известному закону число. Еслитставится в соотв по известномузакону некот в-р если, то гов-ят, что в облзадано векторное поле.

Задание векторного поля заданию ф-ции, а задание скалаярного поля

Поле наз диф-мым, если ф-ции идиф в обл.диф скал поле. Тогда в-рназградиентом скалярного поля в т. Обозн

В данном случае скалярное поле порожд векторное поле градиента - вектор, кот по напр-ю и своему значению характеризует скорость возрастания ф-ции.

, где - оператор Гамильтона.

Опр. поле - диф векторное поле, тогда векторназ ротором векторного поляи обознЕсли рассмкак поле скоростей при движении тв тел, то с точностью до множителя ротор этого поля дает угловую скорость.

Опр. поле- диф векторное поле, тогда величинаназ дивиргенцией вект полев ти обозн.

При движении несжим жидк при наличии источников (или стоков) дивергенция хар-ет плотность источника (стока). диф вект поле порождает вект поле его ротора и скалярное поле его дивергенции.;

Св-ва. 1) 2) (- оп-р Лапласа) 3)

Опр. Этот инт-л наз потоком в-рач/з пов-тьв указ направлении.

Теорема Остроградского-Гаусса (новое)

Пусть в области Gзаданы функцииP,Q,Rнепрерывные навместе со своими частными производными тогда

Теорема Стокса.

Рассм вект поле некоторой кривой.- проекция в-рана ед в-р касательной

Опр. лин интл в поле вдоль . Еслизамкнута, то инт-л назыв циркуляцией вдоль .

,..

Если в-р - в-р силы, то этот лие интеграл предст собой работу сил поля вдоль кривой.

Теорема Стокса.

Циркуляция в-ра вдоль по контуру равно потоку ротора в-рач/з пов-ть, натянутую на эту кривую

Теорема Стокса (новая). Циркуляция в-ра вдоль по контуру равно потоку вихря этого поля ч/з пов-ть, натянутую на эту кривую