2. Постановка задач теории упругости в компонентах перемещений и напряжений

Для постановки задачи необходимо знать граничные и начальные условия, объемные силы, действующие на тело.

При решении задач теории упругости возникают вопросы существования и единственности решения.

Для малых деформаций и перемещений изотропного твердого тела уравнения движения имеют вид

- ур-е движения в напряжениях

Используя з-н Гука для изотропного тела и уравнения совместности

Получаются диф-е ур-я Ламе

, где

Для данных систем уравнений можно сформулировать 3 основные краевые задачи.

4. Заданы объемные силы . необходимо определить компоненты тензора напряжений и перемещений, если на поверхности тела задан вектор напряжений

5. Заданы объемные силы . необходимо определить компоненты тензора напряжений и перемещений, если на поверхности тела задана функция перемещений

6. Смешанная краевая задача. На части поверхности задан вектор напряжения, на другой части вектор перемещения.

В случае динамической задачи необходимо задать начальное значение для вектора перемещений и его производной по времени

и 3.Прямолинейные колебания материальной точки 1) Рассмотрим движение точки массой m, под действием восстанавливающей силы . Если начальная скоростьбудет равна 0 или направлена по силе, то движение точки будет прямолинейным. За ось Ох примем траекторию точки.

х

x

0M

Составим д.у. : ,

Введём постоянные интегрирования: – ур-е гармонического колебания.

Пусть при t=0 ; a­­­­­­–?,–?

;

Амплитуда и начальная фаза зависят от НУ, а частота колебаний от НУ не зависит.

2) x

x где

0 M

где ,.

Рассмотрим следующие случаи:

a) b>k (большое сопротивление)

движение затухающее, апериодическое, частота уменьшается, Т увеличивается, при колебания исчезают.

b) b=k

; – движение затухающее, апериодическое, здесь при резонансе не будет бесконечно возрастающей амплитуды.

c) b<k (малое сопротивление) ;

; –колебат. движение, т.к. sin–период. функция;

затухающее.

3) x

x

0 M

, где –неоднородное уравнение

–частое решение неоднородного уравнения.

, , где

–собственные колебания,

–вынужденные колебания.

В случае p=k:

,

В случае, когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, а амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает – явление резонанса.

Билет 33

1. Решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье

Рассм. ДУ колебаний струны:

(1), f(x,t) – зад. непр. ф-ция

Рассм. соотв. однор. ур-е: (2) и зад. однор. усл.:, если ГУв (1) делаем замену так, чтобы ГУ замкнулись.

Допустим, что ГУ однор:

Тогда реш. ещем в виде:

U(x,t)=T(t) X(x) 0,t.k. мы ищем ненулевое реш.

подставим в (2)

получаем решение:

Для нахождения использ. однор. усл., налож. наU(x,t):

Например:

Задача определения параметра свелась к задаче о розыске собств. чисел.и собств. ф-цийX(x), кот. удовл. этому с заданными ГУ.

Если изначально ур-е (1) было задано однор., тогда бы считалось (для опр-ти.), что каждому (а мы получили считанное мн-во собств. чисел.и соотв. им собств. ф-ций) соотв. только одно решение (4). Тогда реш. исход. ур-я будут:U_k(x,t)=X_k(x)T_k(t) общее реш. данной задачи м.б. представлено в виде бескон. ряда с произв. коэфф.С_k:

Коэфф. С_k подбираются так, чтобы получить решение удовл. и неоднород. усл.:

Если изв. зад. ф-цияприt=0

Отсюда найдем С_k.

Если с-ма (1) неоднор. : получим семейство ф-ций . Реш. ур-ия (1) ищем в виде ряда по собств. ф-циям

Имеем =

Для рав-ва достаточно, чтобы

Отсюда м. найти все . Для их однозначного определения надо знать неоднород. условия, положен. наU(x,t).