3. Модель вязкой жидкости. Уравнения Навье - Стокса

Опр: жидкость называется вязкой, если в ее объеме при относительном перемещении слоев действуют как нормальные, так и касательные силы напряжения.

Тензор напряжений:

; - напряжение на площадке с нормальюx, в проекции на ось x (нормальное). - касательное напряжение

Движение вязкой жидкости описывается уравнениями Навье - Стокса. Уравнения Навье – Стокса получаются из уравнения движения сплошной среды в напряжениях (если вместо компонент тензора напряжений подставить их выражения через компоненты тензора скоростей деформаций из закона Навье-Стокса):

; - коэф. динамической вязкости

; -коэф. объемной вязкости;, μ – коэффициент динамической вязкости,- коэф. кинемат. вязкости;

Для несжимаемой жидкости ;=> получаем уравнения Навье – Стокса:

Проекции на оси координат (еще нужно F_x, F_y и F_z добавить с “+” справа в 1-ых 3-х уравнениях):

Единственность решения уравнений Навье – Стокса выбирают из начальных и граничных условий. Граничные условия:

5. Область течения ограничена твердыми неподвижными стенками, условие полного прилипания, т.е на( неподвижная граница),

6. Область течения ограничена подвижными границами, тогда скорость жидкости непосредственно у границы = скорости движения границы на

7. условия на свободной поверхности:

Опр: поверхность свободная - если ее взаимодействия с внешней средой осуществляется по средствам внешнего давления.

Динамические условия: на+ условие отсутствия касательных напряжений, т. е, на скорости условия не ставятся.

Скорость точек на поверхности жидкости = скорости движения самой поверхности, т.е - уравнение поверхности

8. Условие на поверхности раздела двух жидкостей:

На поверхности раздела выполняются условия:

а) кинематические условия: при;;

b) динамические условия: - равенство сил, т. е;

Билет 47

1. Численное решение оду. Метод Рунге-Кутта

Рассмотрим задачу коши для ОДУ: (1)

Известны условия существования и единственности решения:

f_i непрерывны по всем своим аргументам в замкнутой области D и удовлетв. Условию Липшица по аргументам y_1....y_n т.е.

Метод Эйлера: разбиваем область интегрирования сеткой x_i=x₀ + ih

Формула метода эйлера:гдеz_k – численное приближение y(x_k)

Погрешность данного метода: , гдеM-показатель погрешности аппроксимации, - погрешность округления,B – константа из усл.Липшица

Методы Рунге-Кутта: характеристика метода

1. методы нечувствительны к сетке (она м.б. равномерной и не равномерной)

2. точность м.б. любой

3. методы универсальны и легко адапт. к любым задачам

4. методы одношаговые

разбиваем область инт-ния сеткой x_i=x₀ + ih связь между значениями функции в 2 соседних узлах.

(2) откуда

вводим наборы параметров:

,

По заданным инаходим параметрыk, затем строим такую линейную комбинацию:(2)

Метод 1-го порядка точности: (совпадает с методом Эйлера)

r=1, тогда (2) принимает вид погрешность

Метод 4-го порядка точности:

Этот метод является наиболее часто используемым методом при решении задачи Коши

2. Принцип возможных перемещений. Уравнение Даламбера-Лагранжа

Мех. сис-ма – мн-во точек, движение и положение которых зависит от движения и положения всех остальных.

Связи – условия, которые налагают ограничения либо только на положение (геом. связь), либо также и на скорость движения точек сис-мы (кинематическая связь).

Перемещения, совершаемые движущейся точкой за определённый промежуток времени и зависящие от закона движения будем называть истинными перемещениями.

Любое элементарное перемещение, которое может быть сообщено из занимаемого в дан. мом. времени положения при сохранении наложения на неё связей будем называть виртуальными(возможными) перемещениями.

Геом. связи могут быть склерономными (стационарными) и реономными (нестационарными), а так же неосвобождающими (которые точка покинуть не может) и освобождающими(может покинуть).

Постулат идеальных связей: Для идеальных связей сумма элемю работ реакций этих связей при любом виртуальном перемещении либо равна 0, если связи неосвобождающие, либо =0 или >0 для освобождающих связей. или

Принцип Даламбера-Лагранжа:

Пусть есть си-ма из n материальных точек с неосвоб. идеальными связями, тогда для любой точки сис-мы согласно принципу Даламбера имеет место ур-ние:

Сообщим точкам системы виртуальное перемещение и полученные равенства сложим

- по постулату идеальных связей, тогда

- ур-ние Даламбера-Лагранжа (общее ур-ние динамики) (принцип Даламбера-Лагранжа: для механической системы с идеальными неосвобождающими связями, движущейся относительно инерциальной системы координат, в любой момент времени выполняется равенство нулю суммы элементарных работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении)

В проекциях: