1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка граничных задач. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Функции Грина

Уравнением Лапласа называется уравнение , где- Лапласиан.

В Декартовых координатах

Уравнение Лапласа самое простое из эллиптических уравнений. Если-уравнение Пуассона, это неоднородное уравнение Лапласа, которое получается при наличии источников тепла.

Дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Уравнение Лапласа имеет бесконечное множество решений. Для уравнения Лапласа ставятся следующие краевые задачи.

Найти функцию , гармоническую внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью, и удовлетворяющую граничным условиям, гдеи- функции, заданные на границе. При постановке краевых задач начльные условия отсутствуют в уравнениях эллиптического типа.Задача Дирихле.

Найти функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью, и принимающую на границезаданные значения.Задача Неймана.

Требуется найти решение уравнения в некоторой области пространства, на границе которой задана внешняя нормальная производная .

1. как внешняя, так и внутренняя задачи Дирихле для уравнения Лапласа имеет не более одного решения.

2. Решение внутренней задачи Неймана в пространстве, внешней и внутренней задачи Неймана на плоскости не единственно, определяется с точностью до постоянного слагаемого. Решение внешней задачи Неймана в пространстве единственно.

Решение уравнения Лапласа (в сферических координатах) будет определятся из д.у.. Интегрируя это уравнение, находим. Полагая, например,=1,, получим- фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве.

В цилиндрических координатах уравнение Лапласа имеет вид . Полагая, получаем. Или, которое называется фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

1-ая формула Грина. , где ,

2-ая формула Грина

2. Движение точки в поле центральных сил. Формулы Бине

Точка под действием центральной силы движется по плоской траектории с постоянной секторной скоростью, т.е. так, что радиус-вектор точки за равные промежутки времени заметает равные площади.

Из теор. об изменении момента количества движения –интеграл площадей

Введём полярные координаты ,,введём переменную,,;.

–первая формула Бине. Вторая формула Бине из теоремы об изменении кинетической энергии:;, где– проекцияF на r.

“+” – сила отталкивания, “–“ – сила притяжения.

, ,.

–вторая формула Бине + , закон движения.

3. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сеч-я перемещ-ся поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси.

Между прогибами y(x) и углами поворота сечений θ(x) существует определенная зависимость. Из рис. видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y^/=tgθ. Следовательно, tgθ=tgφ=y^/. Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих силQна прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего моментаM_zи жесткостиEI_z:

. (1)

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

. (2)

Приравнивая правые части (1) и (2) и учитывая, что правила знаков для M_z и y^// были приняты независимо друг от друга, получаем

. (3)

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ=0.1 рад (y^/)²=0.01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

. (4)

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производнойy^//. Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знакиy^//иM_zсовпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знакиy^//иM_zпротивоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (4) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M_zсодержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (4), находим сначала углы поворота сечений

,

(5)

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

(6)

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Билет 42