1. Линейные однородные ду n-го порядка. Структура общего решения

Положим . Из т Пикара для лин-го ур-я след-т что существует единств-е решениеДУ (1) удовл нач условгде, причем это реш-е заведомо опреде-но на всем. Если НУто ед реш-е уд-т (3) будет = 0 . Для ЛОДУ справедлив принцип суперпозиции, еслиреш-е (1), тогдетакже решение ЛОДУ.

Теорема: Пусть реш-е лоду с непрер-ми коэф-ми на. Для того чтобы сов-ть решений была лин-но зависима нанеобходимо и достаточно чтобычтоопред-ль Вронского

Для того чтобы сов-ть реш-й ЛОДУ n-го порядка с непр-ми коэф-ми была лин-но нез-ма необх-мо и достаточно чтобы

Опр. n лин-но незв-х решений наз-ся ФСР или базисом решений.

Опр Нормированной назся ФСР для которой

Теорема Если ФСР то любое решениедопускает представление

2. Канонические уравнения движения системы

Из уравнений Лагранжа (рассм.сис-му под действ.потенц.сил)

Следует ,что обобщ.коорд. и скорости образуют полную систему(2s) переменных.

Рационально перейти от (s) уравнений 2-го порядка к (2s) уравнений 1-го порядка. Такое преобразование было вып. Гамильтоном. Оно привело к новой сис-ме ДУ, кот.назю кононической, а переменные вход.в него кононическими перем.

,- это конон.переменные.

- для потенциальных сил-линейная ф-я от, т.к.

Используем ур.Лагр.2-го рода

Введём ф-ю Гамильтона (*)

Т.к. с-ма стационарна , то ,

Проварьируем ф.H(рав-во(*))

,

Сравним коэф.при одинаковых вариациях ,m – количество связей. Получим (2s) уравнений 1-го порядка, запис в сим.форме

3. Плоское обтекание кругового цилиндра потоком идеальной жидкости 1.Цилиндр обтекается безвихревым потоком со скоростью . Необходимо найти потенциал скорости и функцию тока. При- поступательное движение со скоростьюu Вблизи цилиндра линии тока являются окружностями, потенциал которых можно записать в виде:

при ;

();

; ;=>=>-Скорость на поверхности цилиндра

(подставляем z при r=R)=> ;

=> (A- т. торможения)

Определим давление на цилиндр, используем интеграл Бернулли:

( давление в симметричных точках одинаково)

=> результирующая сила = 0 (т.к. давление в симметричных точках одинаково) в этом состоит парадокс Даламбера.

2. Обтекание с циркуляцией:

Добавим циркуляционный поток в виде потенциала т.о.

- потенциал постоянного движения; - потенциал от дв-ия диполя;

-циркуляционный поток - циркуляционное движение против часовой стрелки

; ;

Рассмотрим 3 типа обтекания:

1. циркуляция велика: - оба корня мнимые

(т. А)

(т.В)

2. ;-корни совпадают

3.циркуляция мала:

Уменьшая циркуляцию :=> безциркуляционное обтекание=> сохраняется симметрия относительноOY и нарушается относительно OX. Поэтому главный вектор сил давления направлен вдоль OX . Скорость над цилиндром меньше скорости под цилиндром, т.к. циркуляционный поток приводит к < скорости над цилиндром и > скорости под цилиндром => давление под цилиндром < давления над цилиндром => результирующее давление направлено. Силы, действующие на цилиндр при обтекании=> при циркуляционном обтекании поступательный поток оказывает на т. давление, +- ое к скорости потока, равное- формула Жуковского.- справедливо при обтекании любого замкнутого контура идеальной жидкостью.

Билет 41