3. Модель идеального совершенного газа. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершенного газа. Сопло Лаваля

Опр: Жидкость наз-ся идеальной, если на площадке соприкосновения двух движущихся объектов действуют лишь нормальные силы давления. Касательные силы трения=0 в случае идеальной жидкости. - по нормали.

Тензор напряжений:

Уравнения движения идеальной жидкости и газа.

Так как нет касательных напряжений, т.е.

; -коэф. вязкости в уравнении Навье-Стокса:

• получаем уравнения Эйлера: - замкнутая система

-уравнение неразрывности

Уравнения Эйлера в декартовых координатах + уравнение неразрывности:

Интеграл Бернулли

Опр: Линии тока- линии, такие что в данный момент времени t касательная к линии совпадает с вектором скорости.(L)

- диф. уравнение линий тока.

_{Предположим, что выполняются условия:} 1.движение установившееся

2.внешние силы потенциальны: 3.условие баротропии

Тогда ;;

=>=>- интеграл Бернулли

где - функция давления

1. ρ=const => ; 2.=>

Интеграл Бернулли справедлив вдоль линий тока или вихревых линий - вектор вихря.

Сопло Лаваля - газовый канал, суженный в середине, разгоняющий проходящий по нему газовый поток до сверхзвуковых скоростей. 

Отношение локальной скорости к локальной скорости звукаобозначается числом Маха, которое также понимается местным, то есть зависимым от координаты:

* При дозвуковой скорости движения газа (M < 1), производная  - сопло сужается.

* При сверхзвуковой скорости движения газа (M > 1), производная  - сопло расширяется.

* При движении газа со скоростью звука (M = 1), производная  - площадь поперечного сечения достигает экстремума, то есть имеет место самое узкое сечение сопла, называемое критическим.

Билет 27

1. Теорема о представимости функции рядом Лорана

Опр. Пусть где- обл., если, то этот предел наз производной ф-циив т, а саму ф-цию будзем называцть диф-мой в т.

Ф-ция наз диф-мой в обл , если она диф-ма в каждой т-ке этой обл.

Опр. Пусть - сход степ ряд, тогда ф-цияназ аналит. В т

Замеч. аналит в т аналит в т

Теорема 1. Если диф-ма в , то она регулярна в.

Опр. Рядом Лорана наз ряд вида . Ряд Лорана наз сх-ся в т, если в этой точке одновременно сход ряды:и.

Ряд явл степенным, поэтому он сход в обл. Рядявл степенным от-но величины, поэтому его областью сходимости будет. Если, то ряд Лорана нигде не сходится. Если, то р. Лорана сход в колеце. На границе этого кольца м.б. все, что угодно.

В колецер Лорана сход равномено, но и в силу т Вейерштрасса дает регулярную на этом мн-ве ф-цию. След-но сумма ряда Лорана явл регулярной ф-цией вобл-ти сх-ти.

(Равном сх-ть степ ряда: ряд сход равном, если )

Теорема Лорана. Если регулярна в, то она представима в этой обл рядом Лорана,, где

Теорема. Разложение в ряд Лорана ф-ции , регул в облединственно.

2. Действие удара на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара

Пусть твердое тело может вращаться вокруг неподвижной оси, которую примем за ось z прямоугольной системы координат Oxyz, связанной с телом. Если на это тело подействовал ударный импульс активных сил, то он вызовет ударные импульсы реакций, проходящих через эту ось. Т.к. этот случай движения можно рассматривать как движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки A и B, то ударные импульсы реакции оси можно свести к двум импульсам и, приложенных в соответствующих точках. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента дадут уравнения:

т.к , то

Здесь М – масса тела, а - радиус-вектор центра масс С.

Определим условия при которых ударный импульс не действует на ось вращения, т.е. когда:

При таком выборе сис-мы координат:

Итак, для того чтобы ударный импульс не передавался на ось необходимо вып. след. условий:

1) Ось вращения должна быть главной осью инерции для одной из своих точек О.

2) Ударный импульс лежит в плоскости перпендикулярной к оси вращения и прох. через точку О.

3) Ударный импульс перпендикулярен плоскости прох. через центр масс и ось вращения.

4) Точка пересечения ударного импульса с этой плоскостью должна находиться с той же стороны от оси вращения, что и центр масс и отстоять на расстоянии η