3. Модель идеальной жидкости. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости

Опр: жидкость наз-ся идеальной, если на площадке соприкосновения двух движущихся объектов действуют лишь нормальные силы давления. Касательные силы трения=0 в случае идеальной жидкости. - по нормали.

Тензор напряжений:

Уравнения движения идеальной жидкости и газа.

Так как нет касательных напряжений, т.е.

; -коэф.вязкости в уравнении Новье-Стокса:

• получаем уравнения Эйлера:-замкнутая система

-уравнение неразрывности

Уравнения Эйлера в декартовых координатах + уравнение неразрывности:

Интеграл Бернулли

Опр: Линии тока- линии, такие что в данный момент времени t касательная к линии совпадает с вектором скорости.(L)

- диф. уравнение линий тока.

Предположим, что выполняются условия: 1. движение установившееся

2. внешние силы потенциальны: 3. условие баротропии

Тогда ;;

=>=>- интеграл Бернулли

где - функция давления

1. ρ=const => ; 2.=>

Интеграл Бернулли справедлив вдоль линий тока или вихревых линий - вектор вихря

Интеграл Коши-Лагранжа

Предположим: 1) жидкость идеальна 2) движение не установившееся,

3) движение потенциально т.е - потенциал скоростей 4) движ-е баротропно, т.е

Вводим функцию давления

Т.к , то потенциальное течение безвихревое=>

=> =>

(из уравнения движения идеальной жидкости в форме Громеко-Лэмба)=>

введем

поле скоростей не изменяется =>- интеграл Коши-Лагранжа (позволяет определить давление)

Билет 49

1. Степенные ряды и их свойства. Интервал и радиус сходимости

Опр. Степенным рядом наз. ф-ный ряд вида: или.

Лемма. Если степ ряд (1) сход для , то он сход абсолютно для уд н-ву.Следствие. Если в некот т ряд (1) расх, то он расх :

Опр. Пусть , где точная верхняя грань берется по мн-ву всех аргументов , при которых ряд сходится. Тогданаз радиусом сходимости степ ряда (1). Кругназ кругом сходимости ряда (1).

Если , то ряд сх-ся

Если , то ряд сх-ся в одной т

Теорема. Степ ряд (1) сход равномерна на любом замкн. Промежутке, лежащем внутри интервала сходимости ()

Замеч. В точках окр-ти ряд (1) может как сходится так и расходится

Теорема. Если конечный предел , то радиус сх-ти степ ряда.

Теорема. Радиус сх-ти степ ряда вычисл по ф-ле

2. Динамика точки переменной массы. Уравнение Мещерского. Задача Циолковского

Систему (тело), масса которой непрерывно изменяется со временем принято называть сис-мой(телом) переменной массы. Если тело движется поступательно и проходимые им расстояния велики, то тело можно рассматривать как точку переменной массы. Диф. ур-ние движения точки переменой массы. – масса тела в моментt, - масса присоединяющихся точек,- масса отделяющихся точек. Система состоит из,, причём сис-мы они образуют лишь в момент времениt. Результат наших рассуждений будет корректным если (теорема об изменении главного вектора количества движения).- абсолютная скорость присоединяющихся точек,- абсолютная скорость отделяющихся точек

- деля обе части равенства на и переходя к пределуполучим:

- уравнение Мещерского.

-относительная скорость присоединения(отделения)- реактивная сила