§ 15. ВНЕШНИЙ ПОТЕНЦИАЛ УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

Потенциал уровенного эллипсоида находят из решения крае­ вой задачи1.

Рассмотрим предварительно центробежный потенциал. Этот потенциал пропорционален квадрату расстояния до оси вращения и в прямоугольных геоцентрических координатах имеет вид

Q = Y ^ 2+ y 2)·,

(3.21)

оси х и у лежат в плоскости экватора. Используя связи (2.20), получим потенциал Q в сферических координатах

2
Q = ^ - r 2 cos2 Ф.	(3.22)

Согласно этим выражениям, центробежный потенциал возрас­ тает при удалении от оси вращения.

Введем в выражение (3.22) полиномы Лежандра Pn(sin<I>). По­ скольку в (3.22) входит cos20 = 1 - sin2 0 , это выражение должно содержать только полиномы нулевой и второй степеней. Так как P0 (sinO) = 1 , а

P2 (sin<J>) = 3/2 sin20 - */г ,	(3.23)
из (3.22) после небольших преобразований находим
2
б = r 2 [l-P 2 (sinO)].	(3.24)

Наконец, в эллипсоидальных координатах Ь, и, учитывая зави­ симости (2.25), запишем

или	Q = — (ь2 + E 2)cos2	и
	2	(3.25)
	2
	Q = ^ ( b 2 + E 2) \i - P 2(smu)\.

1 Краевая задача заключается в определении функции, гармонической в некоторой области, по тем условиям, которым она удовлетворяет на грани­ це области своего существования.

74

Полученные выражения позволяют сделать некоторые заклю­ чения об аналитических свойствах центробежного потенциала. Функция Q удовлетворяет дифференциальному уравнению

д Q	д Q	д Q л 2	(3.26)
AQ =—Ц- н— Ц- н— ψ = 2ω2
дх2	by2	dz2

и не является гармонической; формулу (3.26) можно проверить диф­ ференцированием выражения (3.21). В центробежный потенциал входит квадрат расстояния г или b, поэтому на бесконечности фун­ кция Q неограниченно возрастает.

Таким образом, центробежный потенциал не удовлетворяет уравнению Лапласа и не регулярен на бесконечности.

Такими же свойствами обладает и потенциал силы тяжести. Поэтому его нельзя определить непосредственно из решения крае­ вой задачи.

Возможность нахождения внешнего гравитационного поля по форме уровенной поверхности основана на теореме Стокса:

Если известна форма внешней уровенной поверхности, масса, зак­ люченная внутри этой поверхности и угловая скорость вращения, то внешнее гравитационное поле определено независимо от распреде­ ления масс внутри поверхности.

Определение внешнего гравитационного потенциала в соответ­ ствии с теоремой Стокса часто называют проблемой Стокса. Пояс­ ним принцип решения проблемы Стокса для эллипсоида вращения. Сформулируем задачу: известно, что уровенная поверхность (3.20) является поверхностью эллипсоида вращения

2	2	2
^ Ц Л + ^ = 1			(3.27)
	al	b2

где уо - координаты точки поверхности эллипсоида; ао, Ьо - его большая и малая полуоси соответственно. Заданы масса М , заклю­ ченная внутри эллипсоида, и угловая скорость со вращения. Опре­ делить внешнее гравитационное поле.

Прежде всего из потенциала силы тяжести нужно исключить центробежный потенциал и перейти к определению гармоничес­ кой функции - потенциала Vэ притяжения эллипсоида. На поверх­ ности эллипсоида (3.27) потенциал U постоянен и равен Uo, поэто­ му потенциал притяжения должен удовлетворять уравнению

V = U n	Qo.
о о

или, учитывая формулы (3.21) и (3.22),

75

Vo=U0- ^ ( х 2о+ у 2о) = U0~ r l cos2 Ф ,

(3.28)

где r0 - радиус-вектор поверхности эллипсоида. Из этого выраже­ ния видно, что потенциал V0 притяжения на уровенном эллипсои­ де не постоянен и изменяется в зависимости от широты. Уравне­ ние (3.28) является краевым условием для потенциала притяжения.

На бесконечности потенциал притяжения удовлетворяет урав­ нениям

MmV3 = 0,	limrV 3 =GM,	limb V 3 =GM .
Г—» ©о	r —>	b —»сю	(3.29)
b —>oo

Таким образом, потенциал притяжения нужно искать из реше­ ния краевой задачи с условиями (3.28), (3.29). Для построения ре­ шения достаточно взять заведомо гармоническую функцию и выб­ рать ее параметры с соблюдением этих условий.

Найдем решение в системе координат b, и. Запишем краевое условие (3.28) в этой системе, используя (3.25)

2	2
К =V0 ~ γ Φ ο	+E 2) +^ - ( b 2 +E 2)P2{smu).	(3.30)

Краевое условие (3.30) содержит полиномы Лежандра только нулевого и второго порядков, поэтому решение задачи можно за­ писать в виде

V 3=A00Q0\ i ± |+ A20Q2

(sin и) 9

(3.31)

( * >

где Q01i— |, Q2 - функции Лежандра второго рода,

& | У			= Щ,	(3.32)
ь 2		Е	_ b	(3.33)
q= 2\_Г Гз , ^	+ - 1arctg— - 3 —
LV Е 2	)Г	ь	E

где Аоо, А20 - неизвестные коэффициенты. Для их определения ис­ пользуем условия (3.29),(3.30).

76

Для нахождения коэффициента А оо найдем предел произведе­ ния bV3 при Ь— Используя разложения

,	E	f i ( - i ) "	(3.34)
arctg— =		> -------
	b
		л (-1 )"+| ( E ^ ln+'
4=2Σ	(2« + l)(2« + 3)l ь		(3.35)
п=0
получим
WmbQ2\ i·^	|=0, limbQQ		l= - ®
		‘1

b ^ ·

поэтому

limb V 3=-iEA00

b—> oo

ис учетом выражений (3.29) находим

GM 1 °0 - E ·

Для нахождения Alo используем краевое условие (3.30). На по­ верхности эллипсоида при b = boпотенциал согласно равенству (3.31) имеет вид

Уо = AooQ,

+ A2oQl

Р2(sin и).

Сопоставляя коэффициент при полиноме Лежандра P2(sinu) в этом равенстве и в уравнении (3.30), находим

(О2	Ь2+ Е 2
А20 -	.Ь, Y

Подставив найденные коэффициенты А00 и А20 в выражение (3.31), находим

Υ 3 = ψ	arctg ^	3	(ό02 + £ 2 )— Р2(sin и).	(3.36)
E	b		q0

77