Гл ава 7

СИСТЕМЫ ВЫСОТ

Понятие высоты, несмотря на кажущуюся очевидность, явля­ ется одним из наиболее сложных и тонких понятий геодезии. Это связано с двойственным смыслом высоты: с одной стороны, это расстояние между точками в пространстве, т.е. чисто геометри­ ческое понятие; с другой стороны, в физическом понимании, это величина, определяющая энергетический уровень той или иной точки в поле силы тяжести. Если две точки лежат на одной отвес­ ной линии, геометрическую высоту можно измерить непосредствен­ но как расстояние между ними; так измеряют высоты различных предметов (высота геодезического сигнала, инструмента над цен­ тром, высота человека, дерева, дома и т.д.). Очевидно, что геоде­ зическую высоту, т.е. высоту в геометрическом смысле, так изме­ рить нельзя: в точке поверхности Земли неизвестны ни направле­ ние нормали к эллипсоиду, вдоль которой нужно измерять высоту, ни положение отсчетной точки на эллипсоиде, которая к тому же физически недоступна, поскольку эллипсоид проходит, как пра­ вило, внутри Земли.

Физическое понятие высоты связано с работой в поле силы тяжести. Так, если точки лежат на одной уровенной поверхности, например, на поверхности какого-либо водоема, где отсутствуют течения, естественно считать, что высоты этих точек одинаковы. Если же вода течет от одной точки к другой, говорят, что высота первой точки больше. В этом случае мерой высоты выступает ра­ бота, которую совершает сила тяжести при перемещении водной массы, т.е. разность потенциалов между указанными точками. По­ скольку потенциал на уровенной поверхности постоянен, разность потенциалов любых точек, лежащих на двух различных уровенных поверхностях, всегда постоянна. Поэтому разность потенциалов является мерой высоты или высотой в физическом понимании. Как известно, разность потенциалов можно получить в результате гео­ метрического нивелирования и измерений силы тяжести.

193

Можно связать две системы высот - в геометрическом и физи­ ческом понимании - т.е. перейти от разности потенциалов к вы­ соте как расстоянию в линейной мере, если известна напряжен­ ность поля силы тяжести. В однородном поле, когда сила тяжести постоянна, геометрическое и физическое понятия высоты совпа­ дают. В реальном поле Земли для связи двух систем высот нужно знать силу тяжести всюду вне отсчетной поверхности (эллипсои­ да или геоида). Поскольку сила тяжести внутри Земли по измере­ ниям на ее поверхности однозначно не определяется, используют различные модели поля силы тяжести. Можно рассматривать раз­ ность потенциалов в нормальном гравитационном поле, что по­ зволяет достаточно просто перейти от измеренной разности по­ тенциалов к высоте в геометрическом понимании. Известны и иные способы задания поля силы тяжести, приводящие к другим систе­ мам высот; основные из них будут рассмотрены ниже.

Еще одной причиной, по которой высоту рассматривают и изучают отдельно от плановых координат, является различие в методах получения этих величин: до недавнего времени плановые координаты находили из обработки линейных и угловых измере­ ний, выполненных на поверхности Земли, а высоты преимуще­ ственно из геометрического нивелирования, сопровождаемого измерениями силы тяжести. Определение высоты по измерениям расстояний и вертикальных углов затруднено из-за влияния вер­ тикальной рефракции, из-за чего вертикальные углы измеряют со значительно меньшей точностью, чем горизонтальные.

Спутниковые методы позволяют определить прямоугольные координаты точек поверхности Земли, по которым, используя за­ висимости (2.8) - (2.15), можно найти геодезические координаты. Однако так можно найти только высоту в геометрическом понима­ нии, поскольку прямоугольные координаты не содержат информа­ ции о поле силы тяжести. Кроме того, из-за тропосферных влия­ ний и методических особенностей высота и в этом случае опреде­ ляется с несколько меньшей точностью, чем плановые координаты.

§ 39. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ВЫСОТА И МЕТОДЫ ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В главе 2 геодезическая высота некоторой точки определена как отрезок нормали к эллипсоиду от его поверхности до этой точки. Совместно с плановыми координатами В, L геодезическая высота Н определяет пространственное положение точки относи­ тельно заданного эллипсоида. Очевидно, что геодезическая высо­

194

та как расстояние от не существующей в природе поверхности не имеет физического смысла и не может быть непосредственно из­ мерена. Определить геодезические высоты или их приращения возможно с помощью спутниковых наблюдений, из обработки пространственных линейно-угловых сетей, тригонометрического и астрономического нивелирования. Рассмотрим принципы этих методов.

Спутниковые методы позволяют определить пространствен­ ные прямоугольные координаты X , У, Ζ точки. Эти координаты связаны с геодезическими формулами (2.6).

Для перехода от координат X , Υ, Ζ к геодезическим коорди­ натам 5, L, Я в системе выбранного эллипсоида с большой полу­ осью а и эксцентриситетом е2 служат формулы (2.8) - (2.15).

Геодезические высоты спутниковым методом определяются с точностью до нескольких метров.

В относительных спутниковых определениях, когда измерен­ ными являются приращения ΑΧ, Δ7, ΔΖ пространственных коор­ динат, можно получить разность геодезических высот непосред­ ственно по этим приращениям. Если расстояние между точками невелико, в пределах нескольких километров, можно для этого пользоваться формулой (2.16), считая, конечно, Аа = Ае2 = О,

АН = (AAcosL + A7sinL)cosi? + ΑΖύηΒ.

Для координат В, L нужно брать средние значения координат точек, для которых вычисляется приращение АЯ, или средние зна­ чения тригонометрических функций широты и долготы.

Определение геодезической высоты из обработки пространствен­ ных сетей

В этом методе геодезическая высота определяется вместе с пла­ новыми координатами после приведения результатов линейно­ угловых измерений в единую систему координат и перехода от прямоугольных координат к геодезическим (см. рис. 6.5). Такой способ определения разности геодезических высот реализуется при тахеометрической съемке. Из-за влияния вертикальной рефрак­ ции точность измерения зенитных расстояний значительно ниже точности измерения горизонтальных углов, поэтому геодезичес­ кие высоты рассмотренным методом определяют только в специ­ альных случаях, когда углы наклона в сети велики и точность измерения горизонтальных и вертикальных углов примерно оди­ накова.

195

Определение геодезической высоты из дальномерных измерений

В главе 6 получены формулы (6.27) и (6.28), связывающие про­ странственный отрезок D с хордой эллипсоида. Запишем их в виде

(U-k)D2 = D?= D 2- ( H q - H p)2,

откуда

Hq = H p + ylD2- ( l + fc)D2,			(7.1)
/; Н р i	Н я i	Н уН ч
N p	N q	N p N q ·

Так как параметр к зависит от определяемой высоты, геодези­ ческую высоту по формуле (7.1) приходится определять последо­ вательными приближениями.

Рассмотренный метод нахождения геодезической высоты не имеет большого практического значения, поскольку выполнять линейные измерения между точками с известными геодезическими координатами нецелесообразно. Больший интерес представляет случай измерения расстояний от трех точек с известными коорди­ натами до определяемой.

Определение геодезической высоты из пространственной линей­ ной засечки

Пусть на рис. 7.1 А, В, С - исходные пункты, Р - определяе­ мый пункт. Измерены расстояния от всех исходных пунктов до пункта Р. Найдем расстояния АВ и АС между исходными пункта­ ми и решим треугольники РАВ и РАС. Направляющие косинусы 1Ар, тАр, пАР линии, соединяющей исходный пункт А с определя­ емым, связаны с углами треугольника равенствами

cos а	= 1АВ1АР	+ т Авт АР	+	павпар>
C O S β	= IАС1АР	+ т АСт АР	+	ПАСПАР'

Добавляя к ним условие

1АР + т Ар2 + ПАР ~ ! >

получаем три уравнения для получения неизвестных 1АР, тАР, пАР. После этого легко вычислить прямоугольные координаты точки Р и, используя формулы (2.8) - (2.15), перейти к геодезическим координатам.

196

в

Рис. 7.1. К определению геодезической высоты пространственной линейной засечкой

Исходными пунктами А, В, С могут быть как наземные точ­ ки, так и ИСЗ.

Определение геодезической высоты из тригонометрического ни­ велирования

Рассмотрим двустороннее тригонометрическое нивелирование. В этом методе по измеренным зенитным расстояниям ZPQ и ZQP находят разность Hq - Нр геодезических высот (рис. 6.3). Для ее нахождения обратимся к формуле (6.31). Поменяем в этой форму­ ле местами точки Р и Q, тогда

Dcoszqp = (N +Н) pcosy/ - (N + H)q -A sin Bq.

Вычтем это равенство из уравнения (6.31)

D(coszpq-coszqp) = (Nq - N p)(l +cosy/) +

+(H q - H p)(1- cosΨ) - A(sin Bp +sin Bq),

где cos ψ определен формулой (2.39). Введем в последнее уравне­ ние косинус половинного угла

1+ cosy/" = 2 cos2ψΙ 2

ирешим его относительно разности высот. Получим

Hq - H p = D COSZ” ~ C0SZ"			- (Nq - N p) + A{SinB‘’ - SinB« \
4	Р	2cos2 —	9	'	cos2^	(7.2)
где Bp и Bq -		2			2
		геодезические широты точек Р и Q соответственно.

197

Если положить
Np - Nq + A(sinBp +	sin5^)/cos2i/A= 0,		(7.3)
то
cosz_. -cosz„_
H4 - H r = D	"	2ψ ЧР	(7.4)
	2cos	—

Согласно полученным формулам, если известно расстояние D между точками Р и Q поверхности Земли, геодезические зенитные расстояния zpq и zqp отрезка PQ, координаты В, L обеих точек, можно найти разность геодезических высот этих точек. Практи­ ческому применению формул (7.2), (7.4) препятствует невозмож­ ность измерения геодезических зенитных расстояний. В тригоно­ метрическом нивелировании измеряют угол между отвесной ли­ нией и касательной к рефракционной кривой. Для перехода от измеренных углов к геодезическим зенитным расстояниям нужно знать уклонения отвесных линий в точках Р и Q и ввести поправ­ ки за влияние вертикальной рефракции. Так как геодезическое Z и астрономическое Za зенитные расстояния связаны равенством (6.14) Z = Za + ϋ и cosZ = cos(Za+ ϋ) = cosZa - #sinZa, для разности геодезических высот можно написать

H n - H n = D	cos z па —cos ζ		ϋ ηsin ζηα- ϋ αsin z__
	^	2 ψ	---- 21--- 1----	^ - { N - N _) +
	о		2cos2 %■
	2cos			(7.5)
sin В	+ sin В	+ влияние вертикальной рефракции.
+ ----------------
cos2ψ
Определение геодезической высоты из астрономического (гео­

метрического) нивелирования. В главе 2 установлена связь (2.33) разности АН геодезических высот и нивелирного превышения Ah.

Разность геодезическцх высот удаленных точек получается сум­

мированием по ходу элементарных разностей (2.33)
Нч - Н р = ' ^ ь к - % * ЛГЫ.		(7.6)
р	р

198

Первый член этой формулы иногда называют измеренной вы­ сотой.

Формула (7.6) поясняет принцип астрономического нивелиро­ вания физической поверхности Земли: если вдоль нивелирного хода измерять на каждой станции не только превышение, но и астро­ номические координаты, можно редуцировать измеренные превы­ шения в геодезическую систему координат и определить разность геодезических высот конечных точек нивелирного хода.

Формулу (7.6) можно получить из уравнения (7.5), полагая расстояние между Р и Q равным АД ψ = 0, coszpq = -coszqp = cosz, sinzp - sinzqp - sinz и принимая условие (7.3). Тогда

Н = Hq - Η ρ = ADcosz - ADtisinz = Ah-ϋΑ ΐ.

Астрономическое нивелирование физической поверхности Зем­ ли на практике не применяется из-за трудоемкости астрономи­ ческих определений.

Таким образом, из рассмотренных методов определения гео­ дезической высоты практически реализован метод точного опре­ деления высоты по дальномерным измерениям и метод тригоно­ метрического нивелирования для приближенного определения высот.

Как уже упоминалось, геодезические высоты нельзя использо­ вать для решения задач, связанных с определением уровенных поверхностей. Основной величиной, определяющей положение точек в поле силы тяжести, является приращение потенциала. Раз­ ность геодезических высот точек содержит информацию не толь­ ко о разности потенциалов, но и зависит от положения выбран­ ного эллипсоида. В связи с этим геодезическую высоту разделяют на две части. Обоснование такого разделения приведено в [21] «...

применение геоида имело одну несомненно положительную сто­ рону: из единой, очень сложной физической поверхности Земли выделялась наиболее неправильная часть, представление о кото­ рой дают почти только одни нивелировки (высоты над уровнем моря), и оставалась вторая часть, несравненно более гладкая (вы­ соты геоида над эллипсоидом). Такое разделение вполне естествен­ но и рационально, а геоид обеим разделяемым величинам прида­ ет простой физический смысл» и делит высоту на гипсометричес­ кую и геоидальную части. Гипсометрическая часть описывает физическую поверхность Земли относительно уровенной или близ­ кой к уровенной поверхности; это более сложная часть в геодези­ ческой высоте. Геоидальная определяет форму уровенной поверх­

199

ности относительно эллипсоида. Уровенные поверхности поля силы тяжести имеют более гладкую форму по сравнению с физи­ ческой поверхностью, поэтому геоидальная часть описывает плав­ ные изменения геодезической высоты.

В зависимости от способа определения гипсометрической час­ ти различают несколько систем высот.

§ 40. ОПТОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЫСОТА И ВЫСОТА ГЕОИДА

Ортометрической высотой называют высоту Р2Р точки Р над геоидом (рис. 7.2). Напомним, что геоидом называют уровенную поверхность потенциала силы тяжести, проходящую через начало счета высот. Рассмотрим рис. 7.2. Точка О - исходный пункт ни­ велирной сети (футшток); Р - точка поверхности Земли (пункт нивелирной сети); Р2 - ее проекция по силовой линии на уровен­ ную поверхность W = W0 геоида, W0 -потенциал силы тяжести в исходном пункте О. Между точками О и Р выполнено геометри­ ческое нивелирование, т.е. измерены расстояния dh между уровенными поверхностями W = С, проходящими через точки сто­ яния реек. Так как уровенные поверхности не параллельны, рас-

W = W

Р

200

стояние между двумя уровенными поверхностями в разных их точках различны, а сумма измеренных превышений зависит от пути нивелирования и не может определить высоты точек.

Пусть на каждой нивелирной станции измерена сила тяжести g. Тогда возможно вычислить разность dW потенциалов между уровенными поверхностями, проходящими через переходные точ­ ки, т.е. работу, которую нужно совершить при переходе от од­ ной реечной точки к другой

dW = - gdh.

(7.7)

Суммируя элементарные разности dW, получаем разность по­ тенциалов между уровнем моря и точкой Р физической поверхно­ сти Земли

	Р
W0 - W	=j gdh.	(7.8)
	О
Разность потенциалов W0 -	W - геопотенциальная величина

или геопотенциальное число - равна работе, которую нужно со­ вершить при подъеме от точки О к точке Р. Величина WQ- W не зависит от пути нивелирования и определяется только положени­ ем точек Р и О в поле силы тяжести. Поскольку на уровенной поверхности потенциал постоянен, очевидно, что геопотенциаль­ ное число одинаково для всех точек, лежащих на одной уровен­ ной поверхности.

Определим ортометрическую высоту. На поверхности геоида потенциал постоянен, поэтому разность потенциалов в точке Р и любой точке геоида одинакова и равна геопотенциальному чис­ лу. В силу этого для разности потенциалов в точке Р и в точке Р2, лежащей на геоиде на одной силовой линии с точкой Р, можно написать

W0 - W = Wp2 - Wp.

Разность потенциалов точек Р2 и Р запишем в виде

р

где dlfi - измеряемое по силовой линии точки Р расстояние меж­ ду близкими уровенными поверхностями; g - значение силы

201

тяжести на отрезке dPP. Применяя	к интегралу ^g d H g теорему
о среднем, получим
р	Р

WPi- W p =gm\ d H s = gmH g =W0 - W = jgdh9

где gm - среднее значение силы тяжести вдоль силовой линии Р2Р. Таким образом, для ортометрической высоты получаем

w 0- w	1	г
я = — =-----=		(7.9)
о т	6 т	п

Входящее в уравнение (7.9) значение gm силы тяжести можно выразить через силу тяжести g на поверхности Земли и глубину h

gm g d8H h.

Вертикальный градиент

силы тяжести как вторая произ-

оН

водная потенциала меняется скачком при скачкообразном измене­ нии плотности. Поэтому силу тяжести внутри Земли нельзя вычис­ лить без знания плотности в каждой точке вдоль силовой линии от поверхности Земли до геоида. Следовательно, ортометрическая высота принципиально не определима по измерениям на физичес­ кой поверхности Земли и для ее вычисления приходится использо­ вать ту или иную гипотезу строения земной коры. Непосредствен­ ное измерение силы тяжести внутри Земли также невозможно.

Установим связь ортометрической и геодезической высот. В главе 3 показано, что длина отрезка нормали к эллипсоиду прак­ тически не отличима от дуги силовой линии, поэтому можно счи­ тать, что

Н = ЯР +

(7.10)

где ^ = РХР2 - высота геоида, т.е. отрезок силовой линии от эл­ липсоида до геоида (см. рис. 7.2).

Высоту ^ геоида над эллипсоидом - расстояние между точка­ ми Рх и Р2 - можно рассматривать как в реальном, так и в нор­ мальном поле. В первом случае

r * - Wx~W0

Ь	1-2 ’
	о т

202

во втором -

г« У р - У 2

Ь1-2

Тт

В этих формулах Wx - действительный потенциал на эллипсо­ иде в точке Рх; U2 - нормальный потенциал на геоиде в точке Р2; gml~2, yw1-2 - среднее значение действительной и нормальной силы тяжести на отрезке соответственно.

Используя связи Wx и U2 с аномальным потенциалом, запишем

Wx = и0+ ТЬ u2 = w 0- т ь

для высоты геоида получим
™	Tl +(W0 - U 0)	T2 - (W 0 - U 0)
ζ	= ------ ----------- = ------- ^		-------’	(7-11)
	о m	I	m

где Тх и Т2 - аномальный потенциал в точках Рх и Р2, Таким образом, для нахождения высоты геоида следует найти

аномальный потенциал и действительную силу тяжести внутри Земли. Это невозможно сделать по измерениям на ее поверхнос­ ти. Поэтому геоид нельзя определить по наземным измерениям.

В формуле (7.10) обе величины в правой части - и ортометрическая высота и высота геоида - связаны с геоидом и поэтому не могут быть найдены по измерениям на Земле. По этой причине ее нельзя применить для точного определения геодезической высоты.

Найдем приближенное выражение для ортометрической высо­ ты. Для этого надо найти приближенно среднюю силу тяжести внут­ ри Земли вдоль линии РР2. Пусть в точке Р поверхности Земли (см. рис. 7.2) сила тяжести равна g. В точке Р2 геоида сила притяже­ ния будет меньше, чем в точке Р, из-за того, что притяжение топог­ рафических масс, расположенных между геоидом и поверхностью Зем­ ли, в точке Р направлено вниз, а в точке Р2 - вверх. Поэтому умень­ шение силы тяжести из-за этого эффекта равно удвоенной силе притяжения этих масс, т.е. удвоенной поправке Буге 4nGSH8, где δ - плотность топографических масс. Но из-за приближения к цен­ тру масс Земли в точке Р2 притяжение будет больше. Объединяя оба этих влияния - притяжения топографических масс и изменения силы тяжести с высотой, - для силы тяжести g0 на геоиде получим

go = g - AnG5Hg - H g,

где последний член учитывает изменение силы тяжести с высотой.

203