индекс «1» означает принадлежность соответствующей величи­ ны точке Р1? индекс «2» - точке Р2; угол ψ между нормалями к эллипсоиду можно вычислить по формуле (2.39) или приближен­ но как s/p.

Если дальномером измерено расстояние между двумя точками в пространстве, то редуцирование к отсчетной плоскости выпол­ няются по формуле

s0 = РХР2sin(Z + 1 ?),

рис. 11.4. Здесь Z - зенитное расстояние отрезка Р ^ , измеряемое от отвесной линии; ϋ - составляющая уклонения отвеса в его азимуте.

Таким образом, при редуцировании результатов и линейных, и угловых измерений во всех измерительных точках нужно знать разности астрономо-геодезических уклонений отвеса и превы­ шения.

§ 73. ВЫСОТЫ В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Как известно, геодезической высотой называют высоту над референц-эллипсоидом. В локальной системе координат роль гео­ дезической высоты играет разность z - z0, т.е. высота над отсчет­ ной плоскостью. Эта высота нужна для редуцирования результа­ тов измерений в прямоугольную систему координат и удобна для определения пространственного положения точек инженерно-гео­ дезической сети. Установим связь местных высот z - z0 с геодези­ ческими высотами.

Рассмотрим рис. 11.9: Р - исходный пункт сети, Q - определя­ емый, PC и QCj - нормали к эллипсоиду, Нр и Hq - геодезические высоты точек Р и Q, - геодезическая высота точки Qb лежа­ щей на отсчетной плоскости. Отсчетная плоскость ориентирова­ на перпендикулярно отвесной линии в точке Р; в этой точке угол наклона отсчетной плоскости в азимуте линии PQ равен состав­ ляющей ϋ0 астрономо-геодезического уклонения отвеса. Высота

z —ζ0 точки Q равна проекции разности h - Hq -		геодезичес­
ких высот точек Q и	на направление нормали к плоскости

z - Z0= (Нц - Нш)cos(v^ - ϋ0),

где угол ψ определен равенством (2.39).

358

Q

Рис. 11.9. Высоты над референц-эллипсоидом и плоскостью; о - центр эллипсоида

Найдем геодезическую высоту точки Qj. Спроектируем ло­ маную PQLQ C на направление замыкающей PC. Предварительно отрезок Q\C{ заменим ломаной Q ^ ^ C j, звенья которой явля­ ются проекциями этого отрезка на оси пространственной прямо­ угольной системы координат XYZ, ось Z которой совмещена с малой осью эллипсоида, а ось X расположена в плоскости мери­ диана точки Р. Имеем

PC = -PQXsin#0 + β Casini?sin+ cosi?cosi?/7cos(L-Z^ )]-C Q sinBp.

359

Учитывая, что PC = Np + Нр, Q|C, = Nq + Hm, CC,= e2(NqsinB -

-NpsinBp) = и выполняя некоторые преобразования, получим

Нш=Нр + PQ{ sim?0 + 2(Nq + H J sm2y//2 + (Np - Ng + AsmBp).

Поэтому высота точки P над отсчетной плоскостью

z - zo=[Hq - Нр - PQ{ sint?, -	2(Nq + H J sin2y//2 -
- (Np - Nq + Asin^)]	cos(\y - t?0).

В этом равенстве поправочные члены 2(Nq + Нпл) sin2ψ/1 и Νρ - Nq + Asin50 можно вычислять по приближенным значениям плановых координат, а разность Hq - Нр геодезических высот на­ ходить любым из методов, описанных в главе 7. Если предста­

вить геодезическую высоту в виде выражения (7.17), то
Η4- Η ρ = Η * - Η ΐ + ζ 4 -ζρ,	(11.24)

причем разность Щ - Η ρΎ нормальных высот определяется из гео­ метрического нивелирования согласно (7.36), а разность ζ - ζρ аномалий высоты - методом астрономо-гравиметрического ниве­ лирования согласно формуле (8.44). В результате для высоты над плоскостью получим

z - Z0= [ f f q - r f p	+ (С, - ζ ρ - PQ\ Sim?,) + 2(Nq + H J sinV		+
+	(Np - N q + AsmBp)} cos(y/ - t?0).	(11.25)
Выражение ζ4 - ζρ - PQXsin$0 представляет собой разность
аномалий высоты, полученных по разностям (ξ -		ξ0)ΑΓ, (η -	η0)ΑΓ

астрономо-геодезических уклонений отвеса, исправленных поправ­ кой PQXsm$0 за переход от уклонения отвеса относительно нор­ мали к эллипсоиду к уклонениям отвеса относительно нормали к отсчетной плоскости в начальном пункте сети.

Локальные геодезические высоты z - z0 имеют четкий геомет­ рический смысл как расстояние точек инженерно-геодезической сети от отсчетной плоскости. Однако они не связаны с гравитацион­ ным полем и не пригодны для решения энергетических за­ дач, связанных с работой в поле силы тяжести. Например, уро­ вень воды в любом водоеме будет совпадать с уровенной поверх­

ностью	W - С потенциала силы тяжести, а не	с поверхностью
z - z0 -	Сх равных высот. Поэтому высоты z - z0	нельзя использо­

вать для определения площади водохранилища, участков подъема

360

и спуска при проектировании различных трасс и продуктопроводов, при передаче высот методом гидростатического и баромет­ рического нивелирования. В этих случаях нужно использовать динамические высоты. В локальной сети неудобно использовать общие для всей Земли динамические высоты (7.48), поскольку раз­ ности этих высот могут сильно отличаться от измеренных превы­ шений из-за отличия силы тяжести в районе работ от нормаль­ ной силы тяжести у045 на эллипсоиде.

Рассмотрим систему местных динамических высот. Разность по­ тенциалов двух точек определяется по измерениям силы тяжести g и расстояния dh между уровенными поверхностями (превышений)

Wx - W2 = i gdh.

Введем среднее значение gm силы тяжести на площади съемки, тогда

w l - w 2 = g ml d h + \ ( g - gm) dh.

Отсюда получаем формулу для определения разности динами­ ческих высот

Я 2' - Я ' = У '	Wl = J'dh+ j g	gmdh.
£ m	j 2 12	^ m

Если использовать среднее по ходу значение (g - gm)cp разно­ сти g - gm, то

Η 2 - н ? = У Ah + (g	8m)cpY A h .
1	gm	1

Если участок работ невелик, гравитационное поле спокойно и колебания высот малы, можно не учитывать последний член этой формулы и разность динамических высот считать равной сумме превышений

H d2 - H ? = j ^ A h ,

1

что соответствует определению высоты в однородном поле. Пере­ ход к разности нормальных высот можно выполнить по формуле

1	2		2
Щ - Щ = н ( - н? + Ъ>~Ь- н		+ ^	У аа,
У т		У m	1

где Нср - средняя высота.

361