Гл ав а 3

НОРМАЛЬНАЯ ЗЕМЛЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

§ 14. НОРМАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ. СПОСОБЫ ВЫБОРА

При изучении гравитационного поля Земли обычно использу­ ют фиктивное поле силы тяжести или притяжения, уровенные по­ верхности которых близки к уровенным поверхностям реального земного поля, но имеют более простую по сравнению с ними фор­ му. Такое поле и описывающие его потенциал U силы тяжести или потенциал Vn притяжения называют нормальными. После вве­ дения нормального потенциала действительный потенциал силы тяжести можно записать в виде

W = U + T ,	(3.1)
а потенциал притяжения -
ν = ν Η+τ	(3.2)

Смысл введения нормального потенциала заключается в пере­ ходе от изучения потенциала W силы тяжести (или V силы притя­ жения) реальной Земли к изучению малой величины

T = W - U ,

(3.3)

где Т - аномальный или возмущающий потенциал.

Введение нормального потенциала преследует две цели: в од­ ном случае нормальное поле рассматривают как модель, прибли­ женно представляющую реальное поле; во втором нормальное поле используют как отсчетное, относительно которого находят ано­ мальный потенциал. Т.е. в первом случае речь идет об использо­ вании нормального поля вместо реального, а во втором - об оп­ ределении реального поля. В обоих случаях стараются выбирать нормальное поле так, чтобы аномальный потенциал был мал.

67

Тогда в первом случае величиной Т просто пренебрегают, а во втором появляется возможность строить теорию ее определения в линейном приближении. В качестве нормального всегда стара­ ются выбрать потенциал, который можно описать по возможно­ сти простыми аналитическими выражениями, с тем, чтобы в нор­ мальном поле легко решались задачи геодезии, геофизики, небес­ ной механики. Таким образом, нормальный потенциал можно определить как потенциал достаточно простого вида, по возмож­ ности близкий к действительному.

Существует несколько способов задания нормального потен­ циала. В одних используют понятие Нормальной Земли - модели Земли, обладающей теми или иными свойствами. Так, в геофизи­ ке задают поверхность и модель внутреннего строения нормаль­ ной Земли. Подобная модель впервые была введена А. Клеро, который полагал, что Земля состоит из однородных слоев и на­ ходится в состоянии гидростатического равновесия.

Вгеодезии обычно используют Нормальную Землю в виде иде­ альной планеты, имеющей форму эллипсоида вращения, причем эта поверхность является уровенной поверхностью ее потенциала силы тяжести. Такой эллипсоид называют уровенным. Использо­ вание поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нор­ мального поля удобно в геодезии потому, что в этом случае одна

ита же поверхность является отсчетной при решении и геометри­ ческих и физических задач. Изучение поля уровенного эллипсоида составляет основное содержание настоящей главы.

Втопографии и прикладной геодезии Землю часто считают плоскостью, в небесной механике - материальной точкой или шаром. В других способах нормальное поле представляют полем притяжения системы материальных точек; такое представление удобно для решения задач баллистики и космической геодезии. Возможно построить нормальное поле на основании разложения потенциала притяжения в усеченный ряд шаровых функций, сум­ мируя конечное число членов этого ряда.

Остановимся вкратце на основных формах представления нор­ мального потенциала.

Втопографии и инженерно-геодезических работах не очень высокой точности поле силы тяжести полагают однородным - все уровенные поверхности считают параллельными плоскостями, а силовые линии - параллельными прямыми. Это означает, что по­ тенциал силы тяжести является линейной функцией

U = U0Yh

(3.4)

68

высоты h над исходной уровенной плоскостью U = U0, а нор­ мальная сила тяжести

ЭС/	(3.5)

Эh постоянна по величине и направлению.

Если нормальная Земля - шар с центрально-симметричным рас­ пределением плотности или материальная точка, то ее потенциал притяжения имеет вид

VH =	GM
	(3.6)

где г - расстояние от центра шара (или от материальной точки) до той точки, в которой вычисляют потенциал.

Потенциал в форме (3.6) используют, в частности, в тех слу­ чаях, когда расстояние до притягиваемой точки велико по срав­ нению с размерами Земли. Например, так был представлен потен­ циал Луны и Солнца в главе 1 при рассмотрении земных при­ ливов.

В спутниковой геодезии широко используется нормальное поле, создаваемое системой материальных точек, расположенных на оси вращения Земли, причем и массы этих точек и расстояние между ними могут быть выражены комплексными числами. Кроме того, для более полного приближения к реальному полю в модель нор­ мального поля включают точечные массы, распределенные на по­ верхности или внутри Земли в соответствии с особенностями ее гравитационного поля. Потенциал притяжения

(3.7)

в этом случае представляет собой потенциал системы материаль­ ных точек, где mi - масса точки с номером i\ г, - ее расстояние до притягиваемой точки; п - число точечных масс. При аппроксима­ ции нормального поля точечными массами понятие Нормальной Земли не используется.

Еще один способ введения нормального поля основан на раз­ ложении потенциала притяжения в ряд шаровых функций, кото­

рое в сферических координатах г, Ф, L имеет вид
V(r,Ф,L) =	(Ак cos kL + Вкп sin kL)Pk(Ф),	(3.8)
и=о r	к=О

69

где Р„(Ф ) - присоединенная функция Лежандра первого рода сте­ пени п и порядка к. Коэффициенты А* и В* определены выраже­ ниями:

при к - О
Α°η = θ \\\δ ν 'Ρ η(ύηΦ ')άτ,			(3.9)
τ
Ρ^ΐηΦ ') - основной полином Лежандра степени п,
при к ФО	cos kL'
= 2 (n -k )l G	j j j * m P„k (Φ')	d r,	(3.10)
(,n + k)\
в:	sin k L

где γ',Φ',Ζ/ - координаты текущей точки внутри Земли, δ - плот­ ность, интегрирование выполняется по объему τ Земли. Коэффи­ циенты А°, А* и В* являются стоксовыми постоянными Земли, оп­ ределяющими ее механические свойства. Как известно, стоксовы постоянные - это интегралы по объему тела от произведения плот­ ности на произвольную гармоническую функцию Г1. Эти постоян­ ные согласно тождеству Д. Грина (1793-1841) однозначно опреде­ ляются по значениям на поверхности тела потенциала и его нор­ мальной производной

-4«cJJJav/T=-2»’JJJIY/T+Я[г ^ -wfn у , (3.11)

т τ Σ L J

где Г - произвольная гармоническая функция, п - внешняя нор­ маль к физической поверхности Σ Земли.

Стоксовы постоянные первых порядков имеют смысл:

при п = 0, Г = 1
	4 < = G JJJ&/T = GM.			(3.12)
1Гармонической называют непрерывную функцию Г, удовлетворяющую
_	Э2Г Э2Г	Э2Г	. .	- оператор Лапласа.
уравнению Лапласа		+ - у -	= ΔΓ = 0;

70

Произведение GM постоянной тяготения G на массу Земли на­ зывается геоцентрической гравитационной постоянной.

При и = 1, = О, Г = z

А° = cJJJVsinO'i/T = G jfj& 'dz = GMz0,

	τ	τ
k = I Γ = χ
	<5r'cosO'cos ALWr = cJU & 'i/r = GMx0,
	τ		τ
г -	у		(3.13)
	β ' = G jj’jV cosO 'sin L d t =		= GMy0,
	τ		τ
где	ζ0 - координаты центра масс Земли.

Стоксовы постоянные второй степени связаны с моментами инерции Земли. Используя выражения гармонических функций вто­ рого порядка, получаем

2	2
при п = 2, к = О, Г = ζ2 - *	+У
	2		(3.14)
	(
		, 2 , 2	Л
4-°Шп!л,ф4]*-вШVζ.2		_ ξ !± ζ1	/
= | G J J |5 ( 7 ,2+Z'2 )J T + | G J J |5 [ X '2+Z'2 ] άτ - G f j f S ( x ,2+ ?2)й?т =
τ	τ	τ

=G(Am-C ),

где Ат - средний экваториальный, С - полярный моменты инерции Земли соответственно;

при п = 2Д = 1, Г = yz

А\ = ^ JJJ r ' 2 cos0'sin0'cosL'i/T =

Г = xz

В\ = G jjjr'2cos0'sin0'sin ALdr =G JJJV ZWT,

(3.15)

71

к = 2 Г = ху

В 2 =^ G JJJV' 2 cos2(p'sm2LdT = ^ G ^ d x 'y 'd x ,

τ

τ

где α \,Β \,Β \ —центробежные моменты инерции,

Т = х2- у 2

А2 = - G jjjr '2 cos2<P'cos2L'dT =

( 3 16)

τ

= \ с \ Ц д ( Х'2- у '2 )άτ = ^ G {B - А),

τ

где А,В - моменты инерции относительно экваториальных осей.

В формулах (3.13) - (3.16) учтены зависимости (2.20) прямоу­ гольных и сферических координат.

Если в разложении (3.8) оставить конечное число членов, мож­ но получить нормальный потенциал. Оставляя только член нуле­ вого порядка, получим потенциал шара в виде (3.6). Обычно в ряде (3.8) оставляют только четные зональные члены. Тогда нормаль­ ный потенциал притяжения получит вид

νΗ = Σ ~ 4 ^ ϊΑ2ηΡ2η(*α ιφ )

(3.17)

/2=0 Г

и будет симметричен относительно оси Ζ и плоскости экватора. Согласно (1.1) для получения нормального потенциала силы

тяжести к потенциалу тяготения добавляют потенциал Q центро­ бежной силы. Для нормального поля равенство (1.1) примет вид

U = V + Q	(3.18)
или
υ - Σ 4 τ Γ Α2 Λ Λ sinO)+2.	(3.19)
/2=0 r

Потенциал в форме (3.19) также можно не связывать с Нор­ мальной Землей. Однако если выбрать какую-либо уровенную по­ верхность потенциала (3.19), близкую в том или ином смысле к поверхности геоида, можно рассматривать ее как поверхность Нормальной Земли.

72

В геодезии обычно используют Нормальную Землю в виде иде­ альной планеты, имеющей форму эллипсоида вращения, причем эта поверхность является уровенной поверхностью ее потенциала силы тяжести, т.е. на поверхности эллипсоида выполняется условие

U = U 09

(3.20)

где U0 - постоянная. Такой эллипсоид называют уровенным. Ис­ пользование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в каче­ стве нормального поля удобно в геодезии потому, что в этом слу­ чае одна и та же поверхность является отсчетной при решении и геометрических и физических задач.

Особенно удобно объединение двух последних подходов к вы­ бору нормального поля, когда потенциал уровенного эллипсоида представляют в виде ряда шаровых функций, а коэффициенты раз­ ложения (3.17) подбирают так, чтобы одна из уровенных поверх­ ностей потенциала (3.19) силы тяжести была эллипсоидом враще­ ния. Это позволяет построить непротиворечивую модель нормаль­ ного поля, объединяющую геометрический и физический подходы к изучению Земли.

Рассмотренные способы задания нормального поля устанав­ ливают математическую форму потенциала силы тяжести или силы притяжения. Однако открытым остается вопрос о критериях близости модельного поля к действительному. Очевидно, что одна и та же математическая модель при разных значениях входящих в нее параметров будет с различной точностью аппроксимировать реальное поле Земли. Поскольку эти параметры получают по ре­ зультатам измерений, точность подбора нормального поля за­ висит от набора исходных данных и точности их определения. Например, при использовании концепции уровенного эллипсои­ да значения его полуоси и сжатия заметно различаются при раз­ ных исходных данных и разных критериях близости к реальной Земле. Развитие теории нормального поля дано В.В. Броваром1 (1918-1999), предложившим выбирать нормальное поле так, что­ бы во всем внешнем относительно Земли пространстве поле возму­ щающей силы gradT достигало наименьшего значения.

1В.В. Бровар. Оптимизация модели нормальной Земли // Геодезия и кар­ тография. - 1995. - № 9. - С. 10-13.

73