Коэффициенты А 2п° можно выразить непосредственно через параметры GM,G(C - А), Е, не вводя коэффициенты J2„. В этом случае

		3GM (1 - п)Е1п + 5пЕ2"-2 ° {С А)
	= ( - 1 )"·	GM	(3.52)
		(2п + 1)(2п + 3)

Это соотношение позволяет получить потенциал притяжения и силы тяжести уровенного эллипсоида в сферических коорди­ натах, используя разложения (3.17) и (3.19) и постоянные GM, G(C -А ), £, со. Выражения (3.52) и (3.46) эквивалентны.

§ 17. СИЛА ТЯЖЕСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

Чтобы найти силу тяжести у0на эллипсоиде, нужно получить производную потенциала U по нормали п к уровенной поверхнос­ ти эллипсоида

	7о =	дU	(3.53)
		Эп
			ь=ъ0

Знак «минус» в этой формуле означает, что дифференцирова­ ние потенциала выполняют по направлению внешней нормали, про­ тивоположному направлению силы тяжести.

Найдем экваториальную и полярную силу тяжести в сферичес­ ких координатах. Для точек полюса и экватора эллипсоида направ­ ления нормали к его поверхности совпадают с радиусом-вектором г, поэтому силу тяжести можно найти, дифференцируя выражение (3.50) потенциала по направлению, противоположному г,

эс/

Ye=-	Эг г=а0	1 -£ (2 и + 1)/2„Р2л( 0 ) - т	(3.54)
	Ф = 0	п=1
	ди_	GM	(3.55)
Ύ Ρ = ~	дг г=Ь0	■ - i e - ' i r f · '2/1
	Φ=π/2	и=1

83

В системе координат Ь, и, L элемент нормали к эллипсоиду b = Ь0имеет вид dn = hxdb, поэтому для силы тяжести можно напи-

д и	Коэффициент hx определен формулой (2.26),
сать У0 — № ь=ь„

bj + E 2 = д2, поэтому

ь и

У о = ~

■Jbg + E 2sin2 и дЬ ь=ь„

После дифференцирования выражения (3.38), запишем

		f GM	2 2		,
		------- - ω		a0b0 +
		а,.	3
Ύο =					l- ^ - a r c tg ^
		4	9		E						(3.56)
л1ь2 + E2sin2									P2(sinг/)
		и н— со dc\E			. 2 Λ
						arctg-^-3 ^
				1	+ З ^ г
							b„	E
По этой формуле при и = 0 получаем значение силы тяжести на
экваторе уровенного эллипсоида
_ GM —2 ω2ап --2 ω2α0Ε						1 - ^ a rc tg - ^
							Е	Ьп	Л	/	(3-57>
Уе = а„Ь„		3	3	Ьп		. 2	^	Е
					1 + 3 %		arctg-— 3-г
						Е 2			Е
π
при и - — - значение этой силы на полюсе
	GM	2 г,	4		1 - — arctg —
				2_			Е	Ь Ъ„
7Р=	- j — -(o 2b0 + -(o2E					L2 λ					(3.58)
					1 + 3		a rc tg -^ -3 ^ -
								b„	Е
Используя выражения (3.57) и (3.58), для силы тяжести у0											в про­
извольной точке эллипсоида с широтой и можно получить
Го = / ■	\ = =	\ а 0УР+ \ъ 0уе + \{а 0у					- b 0Ye)P2{smu) .				(3 .5 9 )
V%, + £ 2 sin2		ML3	3		3				J

84

Это выражение преобразуется к виду
у а0sin2	и + у b0cos2 и		(3.60)
У о - У ,'	, ™ —	— ,
^а0 sin	u +b0 cos	и

или, с использованием связи (2 .1 2 ) между приведенной и геодези­ ческой широтой,

Уеа0cos2 В +ypb0sin2 В	(3.61)
Y o = -
ijal cos2 В +bg sin2 В
Формула (3.61) получена в 1929 г. итальянским геодезистом
К. Сомильяна (1860-1955). Ее часто записывают в виде
1 + A: sin2 В	(3.62)
У о = У e 1----- ζ---- Ζ— ,
Vl - e 2sin2 В

,Ь0у - а 0уе

к = — =---------	(3.63)
а оУе

Введем в формулу (3.61) сжатие а уровенного эллипсоида и ко­ эффициент β, равный отношению разности силы тяжести на полю­ се и экваторе к силе тяжести на экваторе

Гр-Ус			(3.64)
β =	Уе
Используя зависимости b0 = а0(I - а),		ур = уе (1 + β), получим
приближенную формулу
У О= ^е(! + βδΐη2	^ —βι siii2	2.S Η— ),	(3.65)
где
β1 = 1 α 2	+^αβ.		(3.66)

Формулы (3.60)-(3.62) и (3.65) называют формулами распреде­ ления нормальной силы тяжести или нормальными формулами. За­ кон изменения силы тяжести на поверхности Земли с точностью порядка сжатия был известен уже Ньютону и Клеро. Член второго порядка относительно сжатия в нормальную формулу включил Гельмерт.

85

Из формул (3.60)-(3.62) и (3.65) следует, что на поверхности уровенного эллипсоида нормальная сила тяжести не постоянна и зависит от широты, она максимальна на полюсе эллипсоида, где она достигает значения 983,2 гал, и минимальна на экваторе, где она равна 978,0 гал.

§ 18. НОМАЛЬНАЯ СИЛА ТЯЖЕСТИ ВО ВНЕШНЕЙ ТОЧКЕ. КРИВИЗНА СИЛОВОЙ ЛИНИИ

Формулы (3.59)—(3.62) и (3.65) позволяют получить силу тяжес­ ти только на поверхности эллипсоида. Во внешнем пространстве силу тяжести можно найти, дифференцируя выражение (3.38) по нормали к внешней уровенной поверхности. Однако в этом случае уровенная поверхность не является эллипсоидальной. Во внешней точке потенциал (3.38) на поверхности координатного эллипсоида зависит от широты, а направление силы тяжести не совпадает с направлением нормали к эллипсоиду. Поэтому нормальную силу тяжести вне эллипсоида следует находить из выражения

( 3 ί / _ |	+	(3.67)
w - м

где hx и h2 заданы формулами (2.27).

Для вычисления нормальной силы тяжести на физической по­ верхности Земли, вблизи эллипсоида, удобнее использовать ряд Тейлора

( Эг	Н +-	Э2у	н 2+-
7 = 7 ,+		ЭЯ1 /о		(3.68)
VЭЯ I	2

где Н - высота точки над эллипсоидом, производные относятся к поверхности эллипсоида. Если ограничиться только первыми чле­ нами ряда, для внешней силы тяжести можно написать

	У = У 0 +	н.	{3.69)
Производную	Эу
	называют вертикальным градиентом нормаль-

ной силы тяжести.

86

= 0,308 мгл/м.

Оценим приближенное значение вертикального градиента, при­ няв за нормальную силу тяжести силу притяжения сферической Земли

GM

7 =

Для сферической Земли направление высоты Я совпадает с на­ правлением радиуса-вектора г, поэтому для вертикального гради­ ента можно написать

	Эу _ Эу _	2 GM _	2 у	(3.70)
	ЭЯ дг	г3	г

Вертикальный градиент зависит от расстояния г до центра Земли. На поверхности Земли для средних значений у = 980 гал,

Эу г - 6371 км ЭЯ

Найдем точное значение градиента на поверхности эллипсои­ да. Используем прямоугольную топоцентрическую систему коор­ динат JC, у, ζ. Если направить ось ζ по касательной к силовой линии нормального поля, противоположно высоте Я, то вертикальный градиент будет второй производной нормального потенциала

Эу _ Эу _ Э2U

д Н ~ ~ dz ~~ dz2 ’

Нормальный потенциал вне эллипсоида удовлетворяет диффе­ ренциальному уравнению

д2и	д2и	э2и = 2(0 2	(3.71)
дх2	ду2	dz2

из которого получим

Эу bHj_

ЭЯ дх2

Вторые производные потенциала в горизонтальных направле­ ниях связаны с кривизной уровенной поверхности. Если ось х на­ правлена по касательной к меридиану на север, а ось у по касатель­ ной к параллели на восток, то

э2и э2и	_	( 1	П
дх2 + ду2		Ύ\ Μ	ν \

87

где М и N - радиусы кривизны меридиана и первого вертикала соответственно. Используя эту формулу, получаем для вертикаль­ ного градиента силы тяжести на поверхности эллипсоида

(3.72)

Радиусы кривизны меридиана и первого вертикала определены формулами (2.7) и (2.17).

Оценим величину члена 2со2. Приняв ω = 7,292 х 10' 5 с"1, полу­ чим 2а? = 10,6 х 10" 9 с' 2 или 10,6 E (Е - этвеш - единица измерения вторых производных потенциала; 1 E = 1 0 ' 9 с'2= 1 мгл / 1 0 км).

Нормальная сила тяжести у0 и радиусы кривизны Л/, N на по­ верхности эллипсоида изменяются с широтой, поэтому вертикаль­ ный градиент также зависит от широты, изменяясь от 3084.Е на полюсе до 3088£ на экваторе. Сила тяжести на полюсе медленнее убывает с высотой, чем на экваторе, где, помимо убывания силы притяжения, возрастает пропорционально высоте центробежная сила.

Приближенно для средних значений силы тяжести и радиусов кривизны

(3.73)

Таким образом, нормальную силу тяжести на высоте Я над эл­ липсоидом можно найти по формуле

7 = 70- 0,3086Я.

(3.74)

Здесь высота выражена в метрах, сила тяжести в миллигалах. Формула обеспечивает вычисление нормальной силы тяжести с точностью выше 0,1 мгл для высот, меньших 1 км. При более точ­ ных вычислениях следует в ряде (3.68) удерживать член, содержа­ щий Я2, и учитывать зависимость градиента (3.72) от широты. На значительных расстояниях от эллипсоида нормальную силу тяжес­ ти нужно находить с использованием формулы (3.67).

Изменение силы тяжести вызывает непараллельность уровенных поверхностей нормального поля. Представим согласно выра­ жению (1.7) разность AU потенциалов между эллипсоидом и близ­ кой к нему уровенной поверхностью в виде

U = γ0Н,

88

где Η - высота уровенной поверхности над эллипсоидом. Так как разность потенциалов постоянна для двух уровенных поверхнос­ тей, для точек на полюсе и экваторе можно написать

ГрЦр = y fie ,

ИЛИ

н р уе

где Нр и Не - высота уровенной поверхности на полюсе и экваторе соответственно. Образовав производную пропорцию, найдем для изменения высоты уровенной поверхности

Н е - Н р = ^ ^ Н р.

(3 .7 5 )

Используя численные значения силы тяжести на полюсе и эква­ торе, запишем

Не~Нр = 0,0053Нр.

Для Н = 100 м Не - Нр = 0,53 м, т.е. уровенная поверхность, проходящая на полюсе на высоте 1 0 0 м над эллипсоидом, на эква­ торе находится на 53 см выше. Т.е. напряженность поля выше на полюсе, и здесь расстояние между уровенными поверхностями мень­ ше, чем между этими же поверхностями на экваторе. Из-за более быстрого убывания с высотой силы тяжести на экваторе по срав­ нению с силой тяжести на полюсе разность полярной и экватори­ альной силы тяжести возрастает. Вследствие этого с возрастанием высоты растет разность расстояния между двумя близкими уро­ венными поверхностями на полюсе и экваторе и сжатие нормаль­ ной уровенной поверхности увеличивается. Поэтому силовые ли­ нии нормального поля обращены вогнутостью к оси вращения эл­ липсоида.

Для определения кривизны силовой линии нормального поля воспользуемся формулой (1.10). Нормальный потенциал и нормаль­ ная сила тяжести не зависят от долготы, поэтому нормальная си­ ловая линия - это плоская кривая, лежащая в плоскости меридиа­ на, и ее кривизна определяется выражением1

1 э 2 с/ _ 1 Эу _	1 Эу
у dxdz γ дх	у RdB

89

Полагая γ = уе, с помощью формулы (3.65) получим

(3.76)

Наибольшую кривизну силовые линии имеют на широте 45° (рис. 3.1).

Силовые линии

Уровенные поверхности

экватор

Рис. 3.1. Силовые линии и уровенные поверхности нормального поля вблизи Земли

Выше (см. формулу (3.75)) была найдена разность высот уровенной поверхности над эллипсоидом на экваторе и полюсе. Для практики больший интерес представляет оценка непараллельное™ двух близких уровенных поверхностей U = Uxи U = U2на неболь­ ших расстояниях dx (рис. 3.2). В этом случае малую дугу уровенной поверхности можно считать равной отрезку касательной к ней.

и=и>

dx = RdB

Рис. 3.2. Непараллельность уровенных поверхностей

90