- •ГЛАВА 1. ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ И СИЛА ТЯЖЕСТИ
- •§ 1. Сила тяжести и ее потенциал
- •§ 2. Физическая поверхность Земли и геоид
- •§ 4. Геодезические прямоугольные системы координат
- •§ 5. Геодезическая эллипсоидальная система координат
- •§ 6. Сферическая система координат
- •§ 7. Специальная система координат сжатого эллипсоида вращения
- •§ 8. Натуральная система координат
- •§ 9. Связь натуральной и геодезической систем координат
- •§ 10. Топоцентрические системы координат
- •§ 11. Влияние движения полюса на координаты
- •§ 12. Международная служба широты и Международное условное начало
- •§ 13. Международная служба вращения Земли
- •ГЛАВА 3. НОРМАЛЬНАЯ ЗЕМЛЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
- •§ 14. Нормальный потенциал и нормальное поле. Способы выбора
- •§ 15. Внешний потенциал уровенного эллипсоида
- •§ 16. Представление потенциала уровенного эллипсоида в виде ряда
- •§ 17. Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида
- •§ 19. Система координат в нормальном поле
- •§ 21. Фундаментальные геодезические постоянные
- •§ 22. Связь системы координат в нормальном поле с натуральной
- •§ 23. Связь элементов аномального поля с аномальным потенциалом
- •§ 24. Уклонения отвеса в геометрическом и физическом определениях
- •§ 25. Астрономо-геодезические и гравиметрические уклонения отвеса
- •§ 26. Топографические уклонения отвеса
- •§ 27. Топографо-изостатические уклонения отвеса
- •§ 28. Астрономо-геодезическая и гравиметрическая аномалии высоты
- •ГЛАВА 5. ПРИНЦИПЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ. ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ЗЕМЛИ. ОБЩЕЗЕМНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
- •§ 29. Определение фундаментальных постоянных нулевого порядка
- •§ 31. Глобальные модели потенциала. Результаты определения фундаментальных постоянных. Современные модели нормального поля
- •§ 32. Глобальные модели рельефа
- •§ 33. Общеземные системы координат
- •ГЛАВА 6. РЕДУЦИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
- •§ 34. Редукция угловых измерений
- •§ 35. Редукция линейных измерений
- •§ 36. Приведение линейно-угловой сети в единую систему координат
- •§ 37. Требования к точности геодезических координат для редуцирования
- •ГЛАВА 7. СИСТЕМЫ ВЫСОТ
- •§ 39. Геодезическая высота и методы ее определения
- •§ 41. Нормальная высота и аномалия высоты
- •§ 42. Связь геодезической высоты с нормальной высотой и аномалией высоты
- •§ 43. Нормально-ортометрическая высота и высота когеоида
- •§ 45. Определение разности нормальных высот
- •§ 46. Динамическая высота
- •§ 47. Связь уклонения отвеса и аномалии высоты
- •§ 49. Способы определения аномалии высоты
- •§ 50. Астрономическое нивелирование
- •§ 51. Астрономо-гравиметрическое нивелирование
- •§ 53. Связь приращений геодезической высоты, нормальной высоты и аномалии высоты
- •§ 54. Определение разности нормальных высот по спутниковым наблюдениям. (Астрономо-гравиметрическое нивелирование теллуроида)
- •§ 56. Вычисление гравиметрической аномалии высоты
- •§ 57. Вычисление аномального потенциала по дискретным измерениям силы тяжести
- •§ 58. Вычисление аномалии высоты и уклонения отвеса по дискретным измерениям силы тяжести
- •ГЛАВА 9. ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ. ПОСТРОЕНИЕ И УРАВНИВАНИЕ
- •§ 59. Историческая справка о построении государственной геодезической сети России
- •§ 60. Точность измерений в государственной геодезической сети
- •§ 61. Определение эллипсоида Красовского. Система координат 1942 г.
- •§ 62. Уравнивание государственной геодезической сети
- •§ 63. Система координат 1995 г.
- •§ 64. Перспективы развития государственной геодезической сети России
- •§ 65. Начало счета геопотенциальных чисел и высот
- •§ 66. Водное нивелирование
- •§ 67. Океанографическое нивелирование
- •§ 68. Определение потенциала в начале счета высот
- •§ 69. Уравнивание нивелирной сети
- •§ 70. Необходимость учета геометрии поля силы тяжести в специальных геодезических работах
- •§ 71. Особенности редукционных вычислений в специальных геодезических работах
- •§ 72. Редуцирование результатов измерений в местную прямоугольную систему координат
- •§ 73. Высоты в локальной системе координат
- •§ 74. Определение уклонений отвеса в местной системе
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ АББРЕВИАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Глава 4
АНОМАЛЬНОЕ ПОЛЕ.
УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА И АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ
В главе 3 введено понятие аномального потенциала Т как раз ности потенциалов действительной и нормальной Земли
T = W -U . |
(4.1) |
Этот потенциал образует аномальное гравитационное поле - разностное поле, возникающее из-за отличия поля реальной Земли от нормального. Наряду с аномальным потенциалом аномальное поле представляют и другие величины, используемые в геодезии. Рассмотрим некоторые из них.
§ 22. СВЯЗЬ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ С НАТУРАЛЬНОЙ
Натуральная система координат, описанная в § 8, связана с си ловыми линиями и уровенными поверхностями реального поля Земли. Система координат в нормальном поле связана с нормаль ной силовой линией и нормальной уровенной поверхностью, про ходящими через данный пункт. Так как нормальное поле не совпа дает с действительным, координаты в нормальном поле отличают ся от натуральных. Установим связь этих систем.
Рассмотрим рис. 4.1: Р - точка поверхности Земли, через ко торую проходит нормальная уровенная поверхность U = Up\ Up - нормальный потенциал в точке Р. Нормальное геопотенциальное число ио - Up точки Р в общем случае, конечно, не совпада ет с ее геопотенциальным числом W0 - Wp.
Установим связь нормального геопотенциального числа (U0-Up) с действительным (W0Wp). Напишем для потенциалов в точке Р
Wp = W0-(W 0-W J;
UP = U0 - (U0 - ир)
106
Р
/I f |
и= и = W -T |
^р р |
|
- / ш |
V = U^ = W»-(WQ- V») |
Рис 4.1. К связи координат в реальном и нормальном поле
и образуем разность Wp - Up. Учитывая, что эта разность равна аномальному потенциалу Тр, найдем
(U0- U p) = (W0-W p) +TP-(W 0- U 0). |
(4.2) |
Действительное и нормальное геопотенциальное число разли чаются на величину аномального потенциала в точке Р и разность WQU0потенциалов на геоиде и уровенном эллипсоиде.
Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным, и потенциал W0 на геоиде был бы равен потенциалу U0 на уровен ном эллипсоиде, нормальное и действительное геопотенциальное число точки Р тоже совпали бы. В действительности этого не про исходит. Однако на силовой линии PjP нормального поля, прохо дящей через точку Р, всегда найдется такая точка Р7, в которой нормальное геопотенциальное число тождественно равно действи тельному
(4.3)
Причем, поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка Р7 будет расположена недалеко от точки Р.
Точка Р7 делит дугу Р{Р силовой линии на две части: отрезок PJP7OT эллипсоида до точки Р7и отрезок РФ. Первый из них опре деляет в нормальном поле высоту точки, в которой выполнено ус ловие (4.3). Если бы поле Земли совпало с нормальным, действи
107
тельное геопотенциальное число было бы равно нормальному и точки Р и Р7 совпали. Поэтому отрезок нормальной силовой линии PJP7OT эллипсоида то точки Р7 называют нормальной высотой точ ки Р и обозначают Я 7; индекс у указывает на принадлежность к нормальному полю. Нормальная высота была бы равна геодези ческой, если бы поле Земли было нормальным.
Подчеркнем отличие высоты в нормальном поле и нормальной высоты. В § 19 высота в нормальном поле определена как отрезок PPj нормальной силовой линии от эллипсоида до любой точки Р (см. рис. 3.3 и 4.1). Она отличается от геодезической высоты толь ко из-за кривизны нормальной силовой линии; как показано в § 19, практически это отличие не ощутимо. Высота в нормальном поле - это расстояние, измеряемое вдоль силовой линии нормаль ного поля от эллипсоида до любой точки Р, а нормальная высота - расстояние вдоль нормальной силовой линии от той же точки Pj эллипсоида, но не до точки Р, а до точки Р7 в которой выполняется тождество (4.3).
Смысл нормальной высоты более понятен, если принять, что W0 = U0, т.е. считать действительный потенциал на геоиде равным нормальному потенциалу на эллипсоиде. Тогда нормальная высо та - это высота над эллипсоидом такой точки, в которой действи тельный потенциал равен нормальному,
W(B, U Н) = U(B9Я7),
где В, L, Н и В, Я7 - координаты точек Р и Р7 соответственно. Таким образом, отрезок ΡΨ = ζ появляется из-за несовпадения
действительного и нормального поля и является элементом ано мального поля. Его называют аномалией высоты.
Нормальная высота и аномалия высоты были введены М.С.Молоденским в 1945 г.
Аномалию высоты получают как расстояние между уровенными поверхностями нормального поля, проходящими через точки Р и Р7. Согласно формуле (3.80), полагая dU = Up - Upy и dHH = ζ,
находим |
|
ζ = |
(4.4) |
где у - среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке ζ . Для получения аномалии высоты определим значения Up и Upy. Согласно выражению (4.1) в точке Р
(4.5)
U n = W p - T P<
108
а в точке Р7на основании тождества (4.3)
UpY=Wp -(W 0- U 0). |
(4.6) |
Поясним смысл этих формул: в точке Р физической поверхнос ти Земли нормальный потенциал отличается от действительного в этой же точке на величину аномального потенциала Тр, а в точке Р7 нормальный потенциал отличается от действительного потен циала в точке Р физической поверхности Земли из-за отличия по тенциалов на уровне моря и отсчетном эллипсоиде.
Вычитая выражение (4.5) из (4.6), находим разность нормаль ных потенциалов точек Р и Р7
UpY- U p = Tp -(W 0- U 0). |
(4.7) |
Следовательно, если потенциал на уровенном эллипсоиде ра вен потенциалу на уровне моря W0=U0, то разность нормальных потенциалов в точках Р и Руравна аномальному потенциалу Тр.
Вернемся к равенству (4.2) и перепишем его в виде
(U0 - U p) - ( W 0 - W p) = T p - ( W 0- U 0).
Сравнивая это выражение с (4.7), убеждаемся, что разность нор мальных потенциалов в точках Р и Р7 равна разности нормального и действительного геопотенциального чисел.
Подставив формулу (4.7) в (4.4), находим для аномалии высоты
, _ ТР |
К - У д |
(4-8) |
* γ |
У |
Эта формула устанавливает зависимость между аномалией вы соты и аномальным потенциалом в одной и той же точке земной поверхности. Ее называют обобщенной формулой Брунса (Г.Брунс, 1848-1919).
Согласно рис. 4.1, высота Нн = PjP равна сумме нормальной высоты и аномалии высоты
Яя = Я 7+С. |
(4.9) |
Так как высота в нормальном поле практически совпадает с гео дезической, это выражение справедливо и для связи геодезической и нормальной высот
Я = Я 7+ ^
109