§ 21. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Фундаментальными геодезическими постоянными называют па­ раметры, однозначно определяющие отсчетное поле уровенного эллипсоида1.

Различают первичные и производные фундаментальные постоян­ ные. К первичным относят постоянные, которые существуют для реальной Земли. Это стоксовы постоянные GM, G(C - А ) и угловая скорость со вращения Земли, которая является также астрономи­ ческой фундаментальной постоянной. К первичным относят также параметр J2.

Для определения нормального поля необходимо иметь, поми­ мо трех первичных постоянных GM, G(C - А)(или / 2Х ω>еще °ДНУ постоянную, определяющую размер Нормальной Земли. В качестве четвертого параметра можно задать большую полуось а0 уровен­ ного эллипсоида, потенциал U0 на его поверхности, экваториаль­ ную силу тяжести уе. Однако у Земли нет никакой полуоси, нет и вещественной уровенной поверхности с постоянным потенциалом W0, поскольку морская топографическая поверхность отличается от уровенной. Поэтому большую полуось земного эллипсоида по­ лучают под теми или иными условиями из градусных измерений. Потенциал U0 можно принять равным среднему потенциалу W0на уровне моря; значение уе выводят по измерениям силы тяжести на поверхности Земли.

Принципы определения фундаментальных постоянных нулево­ го порядка изложены в главе 5.

Таким образом, исходными параметрами могут быть или GM, а0, G(C - А) (или J2d со или GM, U0, G( С - А), со.

Остальные постоянные, например, сжатие а уровенного эллип­ соида, его первый е и второй е эксцентриситеты, коэффициенты β и к нормальных формул называют производными или вторичны­ ми фундаментальными постоянными.

Производные фундаментальные постоянные получают для Нормальной Земли, исходя из соотношений между параметрами уровенного эллипсоида. Например, при задании постоянных GM, а0, G(C - А), со можно с помощью выражения (3.88) или (3.89) оп­ ределить линейный эксцентриситет Е, а затем все остальные. Рас­ смотрим случай, когда исходными являются GM, U0>G(C - А), со.

1 Бурила М. Фундаментальные геодезические постоянные // Геодезия и картография. - 1996. - № 5. - С. 15-22.

99

Для нахождения полуоси а0 объединим формулы (3.39) и (3.88) и найдем

ая =-GM Ъ - ^ Ё	2 /Л2
	!ап	iо2а2	1+ - -	GME ‘
£/„ 3 -2£	2/я2	зс/„	5 (GME 2-3 G (C - А))Оа] - 2 Е 2) (3.90)

а для линейного эксцентриситета Е непосредственно из формул (3.84) запишем

£г=3 « С -Л ) +	(о2а2Е 5
GM	15 ΰ λ ί (Зд 2 - 2 Е 2 )arctg	r-ЪEyja2- E 2
	и	(3.91)

Эти формулы представляют собой точные замкнутые выражения для полуоси и эксцентриситета эллипсоида. Однако они неудобны для практического применения. Если же в выражении (3.39) потен­ циала на поверхности эллипсоида использовать разложение (3.34), а формулу Пицетти записать в форме (3.89), то для полуоси Ь0 и эксцентриситета Е можно получить

	GM		Μι" ( E		^m- bJbl+E2!
Ь =	Uл	1+Σ2л+ 1		Ъл	3GM
			п=\	и J
						(3.92)
GM			G (C -А)		(-1Г 'п	( Z7 λ 2 " +1
£ = 15					(2л + 1)(2я + 3)\ b° J
со\ Ь 02 + Е2)[ -			GME2 - 1/7=1

С помощью этих выражений полуось и эксцентриситет легко определяются совместно методом итераций.

После вычисления значений полуоси Ь0 и линейного эксцентри­ ситета Е остальные геометрические параметры определяются с по­ мощью известных в сфероидической геодезии соотношений (3.84). Экваториальную и полярную силу тяжести можно найти с помо­ щью равенств (3.57) - (3.58).

Отношение

GM/U0 = Ra

называют гравитационным масштабным множителем.

100

Обычно в геодезии исходными фундаментальными постоянны­ ми являются GM, а0, J2, ω. Для нахождения других параметров уровенного эллипсоида в этом случае так же прежде всего нужно най­ ти эксцентриситет е. Можно использовать формулу

4 _	еге'2	(3.93)
е = 3J2 + — т	(3 + е 2 )arctge' - Ъё
15

вытекающую из фундаментальной формулы Пицетти (3.88). Пара­ метр га определен по формуле (3.45), связь первого е и второго ё эксцентриситетов приведена в выражениях (3.84).

С известными исходными значениями GM, а0, J2 ω и эксцентри­ ситетом е0 можно получить остальные постоянные. Большая полу­ ось а0 и эксцентриситет е0 позволяют найти все геометрические па­ раметры эллипсоида согласно (3.84). После этого потенциал на поверхности эллипсоида находится по формуле (3.39), а сила тяже­ сти на экваторе и полюсе эллипсоида - по (3.57) - (3.58). Можно также получить тождества, определяющие потенциал и силу тяже­ сти по четырем исходным параметрам и эксцентриситету:

GM	3 ^	га
и =	3 -2 е 2	+Т

1+ -

5(e2 - 3 J 2)(3 -2 e2 0)

GM	1	2со а„ {	с2 | 5	GM(e2- 3 J 2)
Ye = '	2	3- 2е:			(3.94)
ао			4	<»чз
GM	2ω2α0		5 GM(e2- 3 / 2) >
Гр	3 -2 е 2		2	ω2αβ3	,

Однако точные равенства не всегда удобны, поэтому обычно производные постоянные находят, используя разложения по сте­ пеням параметров ё2и т . Прежде всего следует определить экс­ центриситет е0, соответствующий заданным У2 и т . Используем для этого ряд (3.35) и формулу (3.33), с помощью которых найдем

(3 + е 2 )arctge' - Ъё = 4е'2у . П(-\)П+1 ^ 2п+\

^ί(2/ι + 1)(2/ι + 3)

При выводе этой формулы учтено, что Е/Ь = ё .

101

Запишем теперь выражение (3.92) в виде

2	-	-	- 3
е		3J2+ т -

1 - - е 2

1

В знаменателе этой формулы в скобках оставлен только член порядка е2, причем отличием первого е и второго е' эксцентрисите­ тов пренебрегаем. Запишем согласно формулам (3.84)

tt 2 = е3(1+3/2 е2+...).

Тогда с удержанием в поправочных членах величины порядка е2найдем

1

е2 = 3J2+ т

1+ — е2

14 Эксцентриситет е входит и в левую, и в правую части этого

выражения, поэтому его находят приближениями. В начальном

приближении в правой части членом | j ^ e 2 пренебрегаем, тогда

е - 3J2+ т ■
Подставив это значение в правую часть, находим
е 2 = 3J2+ m - 27/14J2m - 9/14т2 + ... ,	(3.95)

отсюда сжатие уровенного эллипсоида с учетом формул (3.84) равно

	3 7		1 _		9 у2 3 . _							11 _ 2					(3.96)
	а = —	2	+ —т + — Л				-------J^m--------т							+ ·
	2		2		8	2		14		2		56
С помощью выражений (3.48) и (3.51), получаем
и	GM		т			27				9 _			9	_ 2		+·	(3.97)
	=	1н—		н-----1------J^ н—							tnjл—			-т
			2	2		40		z	70				280
а из формул (3.54), (3.55) и (3.48) найдем
V -	GMI	3	_	_	27 ,2			9				9 _2			+···		(3.98)
	—Г -1 + —J7 - m				+	— / ,		н----J-.ni------т
	а2Л	2	2			8	2	14			2	56

102

		G M (	_	3	. _	1 —2			(3.99)
	γ „ - —г-		1 + m ----		J ?m	------ m	+···
	p	a20 (		14 2		14
Эти выражения позволяют найти параметр β нормальной фор­
мулы
β =	YP ~ Ye =		+ 2 m - - J l ~ — J 2m + — m2 +···,					(3.100)
K	ye	2 2			8 2	14 2	56	v	2
а с помощью равенств (3.66) получить
		β .=			3 _ _		9 _ 2	(3.101)
					+ —J7m+ — m .
					4	2	32

Постоянные G (C -A ) и J2подвержены приливным изменениям. Если бы Земля была идеально упругой, то приливные деформации полностью соответствовали бы приливному потенциалу, и потен­ циал деформированной Земли был бы равен сумме потенциалов силы тяжести и приливного. Деформации реальной Земли отлича­ ются от этого идеального случая и изменение SV потенциала силы притяжения деформированной Земли относительно потенциала притяжения Земли, изолированной в пространстве, связано с при­ ливным потенциалом соотношением

8V = к2П(Р),

(3.102)

где к2 - число Лява. Согласно ряду (3.43)

δ ν = GM		\2п
	Ι - Σ * * ,	P2n(sinO)
	η=1

где <5/ 2л - изменения коэффициентов J2nпод воздействием прилив­ ной силы.

Оценим изменение второй зональной гармоники / 2, соответ­ ствующее постоянному приливу (1.20). Подставив в соотношения (3.102) выражения для δν при г = R и П0(Р)

_ . D4 1 GmR2 .

Πо (Р) = - - — 3— Р2(sin Ф)

ср

103

и приравняв коэффициенты при полиноме Лежандра второй сте­ пени в левой и правой частях получившегося равенства, найдем

(3.103)

При к2 = 0,3, R = 6371 км, а0 = 6378 км, для Луны т/М = 1/81, 1ср = 384 400 км а/2 = 8,4 · 10'9.

Влияние постоянного лунно-солнечного прилива исключают из значения постоянной J2, полученного по наблюдениям. При этом учитывается также изменение центробежного потенциала.

Ныне действующая система фундаментальных геодезических постоянных - Геодезическая референц-система 1980 г. (ГРС-80) - принята на XVII Генеральной ассамблее Международной ассоциа­ ции геодезии (МАГ) МГГС (Канберра, 1979 г.). В число фундамен­ тальных постоянных этой системы включены также геоцентричес­ кая гравитационная постоянная атмосферы GMa и скорость света в вакууме. Включение скорости света в фундаментальные геодези­ ческие постоянные обусловлено тем, что современные линейные измерения основаны на определении времени распространения элек­ тромагнитных волн, и скорость света устанавливает линейный мас­ штаб геодезических построений (табл. 3.1).

В СССР и России в геодезических работах принят эллипсоид Красовского, а гравиметрические наблюдения обрабатывают с ис­ пользованием формулы Гельмерта, т.е. исходными постоянными являются а0 = 6 378 245 м, а = 1:298,3, уе - 978 030 мгл, β = 0,005302, = 0,000007. Включение постоянной pj высшего порядка в число исходных параметров излишне, поскольку эта постоянная одно­ значно определяется постоянными нулевого и второго порядков. Оценим остальные параметры. Из формулы Пицетти (3.79) можно

	получить						\
	5ω2α0	1	17	1	а	2
	α + β =	1----- а -		----		+·
			35	245			У
	откуда для угловой скорости находим
	ω = 7,292		165 · 10'5рад/с.

Геоцентрическую гравитационную постоянную найдем по фор­ муле Молоденского (3.85), введя в нее сжатие а и коэффициент β:

GM = %α2[1+β/3 - 2α/3 + 2ω2α0(1 - a)/3yj = 398 612,8797 км3с 2.

104

		Т а б л и ц а 3.1
Геодезическая система относимости 1980 г.
Параметр	ГРС-80	WGS-84
Исходные постоянные
Экваториальный радиус а0, м	6378 137	6 378 137
Геоцентрическая гравитационная	3 986005· 108	3 986 005-108
постоянная (включая атмосферу)
GM, MV 2
Зональный коэффициент второй	J2= 108 263 · 10'8	C 20 = - y 2/V 5 =
степени без постоянного прилив-		=-484,16685 · 10'6
ного влияния
Угловая скорость вращения	7292115· Ю'11	7292115-ИГ11
Земли ω, рад/с
Скорость света в вакууме с, м/с	299792458	299792458
Геоцентрическая постоянная	3,5 · 108	3,5 · 108
атмосферы GMa> м3с2
Производные постоянные
Полярный радиус Ь0, м	6356752,3141	6356752,3142
Сжатие а	1:298,257222101	1:298,257 223 563
Потенциал на поверхности	-	62636860,8497
эллипсоида U0, MV 2
Экваториальная сила тяжести	9,7803267715	9,7803267714
У*, м сЛ
Полярная сила тяжести^,, м с'2	9,8321863685	9,8321863685
Коэффициенты нормальной
формулы к	0,001931851353	0,001931 85138639
β	0,005 302440114	-
/*.	585· 10‘8	-
Квадрат эксцентриситета е2	0,006694380023	0,00669437999013
Линейный эксцентриситет Е, м	521 854,0097	521 854,0084

Пояснения к последнему столбцу таблицы 3.1 даны в главе 4.

Значения геоцентрической гравитационной постоянной и уг­ ловой скорости вращения, вытекающие из совместного использо­ вания эллипсоида Красовского и формулы Гельмерта, заметно от­ личаются от современных определений.

С совершенствованием методов и средств измерений значения фундаментальных геодезических постоянных постоянно уточняют и исследуют их изменения с течением времени.