Глава 2 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

ВТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ, И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Вгеодезии используют прямоугольную систему координат, на­

чало О которой находится в центре масс Земли, ось Ζ направлена по оси вращения Земли, ось X совмещена с линией пересечения плос­ костей экватора и начального (гринвичского) меридиана, ось У дополняет систему до правой. Такую систему координат называют геоцентрической или общеземной. В общеземной системе коорди­ нат определяют положение пунктов на всей поверхности Земли.

Если система координат введена для определения положения точек на части земной поверхности, например на территории од­ ного государства, ее начало О может быть значительно (до сотен метров) смещено относительно центра масс. В этом случае гово­ рят о референцной системе координат.

Из-за неизбежных ошибок измерений при практическом задании общеземной системы возможно несовпадение ее начала с центром масс Земли и повороты осей. В связи с этим существуют несколько реали­ заций общеземной геоцентрической системы координат, и возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой. Зада­ ча преобразования координат возникает также при переходе от рефе­ ренцной системы координат к общеземной и обратно.

Переход от одной прямоугольной системы координат к дру­ гой при одновременном переносе начала системы и повороте осей

	выполняют по известному правилу
	'*2	’Х \~ хо~
	у2	“ ^1,2 Υχ-Уо
	N__	A	~ ζο_
	1
		1
	где Х {9 Yj, Z h Х2, Y2, Ζ2 -	координаты точки в первой и второй
	системах соответственно, х0, у0, ζ0 -		координаты начала 0 2 пре-

36

образованной системы координат в исходной системе, R l2 - матрица поворота от системы 1 к системе 2

cos(Y2, Х\)

R1,2 “ cos(Υ2, Х х) cos(Z2, Χ χ)

cos(Χ 2, Υχ) cos(Y2, Υχ) cos(Ζ2, У|)

cos(Χ 2, Ζχ) cos(Υ2, Ζχ) cos(Z2, Ζχ)

Матрица /?1>2 ортогональна (сумма квадратов элементов любых строки или столбца равна единице, а произведения любых двух строк или столбцов равны нулю), поэтому ее обратная матрица совпада­ ет с транспонированной и для обратного перехода от системы 0 2ХЪ Υ2, Ζ 2 к системе ΟχΧχ, Υχ, Ζχ служит преобразование

X

Υχ

.ζ ..

II

'X l
----1	Υ2	1
	ю
	N

---1 1

+ Уо

_ζο_

где RX2 - транспонированная матрица.

Переход от системы ОхХ х, Υχ,Ζχ к системе 0 2Х2, Υ2, Ζ 2 можно представить как параллельный перенос на расстояния х0, у0, ζ0 вдоль одноименных осей, в результате чего получится система 0 2X'Y'Z', и три последовательных вращения вокруг осей этой новой системы ΧΎ'Ζ' на углы £х, £у> £ζ соответственно (рис. 2.1).

37

В результате этих действий получаем

~Хг

COS£y COS£z	cose^sine..	-sine,,
-cose^sine-.+sine^sineyCose.,	cos£xcos£z +sin£xsineysinez	sine^-cose^

sine^sine^cose^sineyCose., -sinexcos£z+cos£xsin£ysin£z cos£xcos£y X\ x0

Υι-Уо	(2. 1)
A-Zo

Углы поворота между осями геодезических систем не превыша­ ют 1-2", поэтому матрицу преобразования обычно упрощают, по­ лагая sine = £, cose =1, (sine)2= 0, и записывают формулу (2.1) в виде:

1	1	£ z
	= (l + m) - £ z	1
_Z2 _	£ y	~ £ x

- £/ 2^

1 _Z| -

° ^____ 1

z0 _

(2.2)

В выражении (2.2) учтено также отличие т масштабов двух систем, вызванное систематическими ошибками линейных изме­ рений. Так как для современных систем т является малой величи­ ной, можно не учитывать произведения т е и записать формулу (2.2) в виде

Х 2 -	Х \ = ~Х0 +	т (*1 - х о) + £z ( y I- Уо) ~£y(Z \ -	z o)>
у2-	У, = -Уо -	£:(χ , - х0) + т(Ух- у0) + εχ(Ζ, -	ζ0), (2.3)

ζ2 - Zj= -z0 + ey(Xx- x0) - £Х(У, - y0) + m(Z{ - z0).

Вследствие малости всех членов в правой части можно рас­ сматривать разности Х2 - Х\, У2 - ^ι» Z2 - Z, как дифференциалы dX, dY, dZ координат. Пренебрегая произведениями координат

х0, у0, z0 на т, εχ, εγ, εζ, запишем их в виде

dX = -х 0 + тХх + е.У[ - εγΖ χ,

dV = -у0- £:Х х + тУ[ + εχΖ ν

(2.4)

d Z - -z0 + £уХ х - ехУ[ + m Zb

38

или в матричной форме

'dX '

' ν 1_____

-Хо	т	ε.	- ε	'* r
-Уо	+ - ε .	т	εχ	Ух
Γ Ζ0_	£у - ε χ		т _ А .

Координаты х0, у0, ζ0 начала референцной системы координат в общеземной системе и углы εχ, еу, εΣназывают внутренними эле­ ментами ориентирования референцной системы.

§ 5. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Геодезическая эллипсоидальная система координат Д L, Н связа­ на с эллипсоидом (рис. 2.2). Координатными линиями в этой сис­ теме являются нормали к эллипсоиду. Геодезическая широта В - это угол между нормалью РР0Ор к эллипсоиду и плоскостью эква­ тора; геодезическая долгота L - угол между плоскостью У = 0 на­ чального меридиана и плоскостью ΖΟΡ меридиана точки Р. Геоде­ зическая высота Н - отрезок Р0Р нормали к эллипсоиду.

Рис. 2.2. Геодезические прямоугольная и эллипсоидальная системы координат

39

Отсчетный эллипсоид может располагаться внутри Земли поразному. Если центр эллипсоида совмещен с центром масс Земли, а его поверхность близка к поверхности геоида, то эллипсоид называют общим земным. Если эллипсоид близок к геоиду на ог­ раниченной площади, а центр его смещен относительно центра масс, его называют референц-эллипсоидом. Референц-эллипсоид за­ конодательно устанавливается для использования в геодезических работах в той или иной стране, отсюда и его название (референ­ ция, т.е. рекомендация).

Геодезические прямоугольная и эллипсоидальная системы со­ гласованы друг с другом. Центры этих систем совмещены, ось Ζ прямоугольной системы проходит вдоль малой оси эллипсоида, оси X и Υ совпадают. Связь систем согласно рис. 2.2 устанавли­

вают формулы
X = (N + Н)cos BcosL,
Y= (N + H)cos 5sinL,	(2.6)

Z = (N + H - Ne2)sinB,

где N - радиус кривизны первого вертикала, равный отрезку ОрР0 на рис. 2.2; е - эксцентриситет.

Из курса сфероидической геодезии известно, что

(2.7)

где а - большая полуось эллипсоида.

Обратный переход от геодезических эллипсоидальных коор­ динат к прямоугольным выполняют следующим образом: опреде­ ляют долготу L и радиус Q параллели точки Р (на рис. 2.2 он равен отрезку OPj). Это возможно сделать разными способами,

например,	(2.8)
tg L = Y/X, Q = AcosL + FsinL,
или
cos L =—	(2.9)
Q
Для широты из выражений (2.6) находят
Z + Ne2sin В	(2.10)
tgВ =

Q

40

Широту В вычисляют методом приближений, причем в началь­ ном приближении можно использовать разные ее значения. Наи­ более удобно найти в первом приближении приведенную широту и точки Pj отсчетного эллипсоида, лежащей на пересечении его поверхности с радиусом-вектором внешней точки Р (рис. 2.3)

tgu=

,z

.

(2.11)

Q -1 ^ 7

Напомним, чтоприведенной широтойточки эллипсоида называют геоцентрическую широту точкиР',являющейся проек­ цией точки Pj на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости экватора (см. рис. 2.3). Приведенная и геодезическая широта связаны равенством

г;---- ^	D	(2.12)
tgи = V1 - e	tgB.

После вычисления приведенной широты геодезическую широ­ ту находят по формуле Боуринга

		Z +e2 flSin U	(2.13)
	tgB =	л1\-е2
		Q - e 2acos3 и
	Геодезическую высоту Я вычисляют по формулам
	Я = ρ /cos В - N
	или
	Н = Qcos В +Z sin В - a-J(1 - e2 sin2 В).		(214)

41

Высоту и широту можно вычислить совместно, используя вы­ ражения

tgB0 =--- Щ— ,	# 0 = Qcos B0 + Z sin В0 - a ^jl-e 2sin2 50,
(1 ~ eL)Q	(2.15)
	N , =
tgB =	^ l - e 2sin2 Д
	, H = QcosВ + Zsin В - ал1\ - e2sin2 B.

l - e 2	о
	ЛГп+Яп

Формулы (2.8)- (2.15) позволяют найти геодезические коор­ динаты одной и той же точки для разных эллипсоидов. Диффе­ ренцируя равенства (2.8), (2.10) и (2.14), найдем формулы для из­ менения dH, dB, dL геодезических координат при переходе от од­ ного эллипсоида к другому

dH = (dXcosL +dYsinL)cosB + dZsinB -da + ^(e 2da + ade2)sin2 В,

(М + H)dB = -(dX cosL + dY sinL) sinB +dZ cosВ + (e2da+ ade2)sin2B,

(N + H) cosbdL=dY cosL - dX sinL.	(2.16)
Здесь M - радиус кривизны меридиана,
Μ - --------------------	(2.17)
( l - e 2sin2 В)312

Дифференциалы dX, dY, dZ геодезических прямоугольных ко­ ординат определены формулами (2.4) - (2.5). Подставив выраже­ ние (2.4) в (2.16), находим

dH = т[(Х{cos L + Yxsin L) cos В + Z, sin В] -

-(x0cos L +y0sin L) cos В - z0sin В - da + ^ (e2da + ade2)sin2 В +

+εχ(Ζ{sin L cos В - Yj sin B ) - £ y(Z{cos L cos B - X xsin 2?);

42