-располагаются в зоне значительных колебаний уклонения отвеса техногенного происхождения, вызванных притяжением массивных сооружений и водных масс водохранилищ:

-могут располагаться в предгорной и горной местности со сложным гравитационным полем, где возможны значительные разности уклонений отвеса на небольших расстояниях.

Эти особенности обуславливают специфику вычислений в ин­ женерно-геодезических сетях. Конечно, можно и в этом случае использовать традиционную методику редуцирования на поверх­ ность референц-эллипсоида, описанную в главе 6. Однако целесо­ образнее выбрать локальную отсчетную поверхность - сферу или плоскость, достаточно близкую к уровенной поверхности в пре­ делах геодезической сети. Это позволит уменьшить редукционные поправки и вычислять их по более простым формулам.

§70. НЕОБХОДИМОСТЬ УЧЕТА ГЕОМЕТРИИ ПОЛЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ В СПЕЦИАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РАБОТАХ

Всовременной геодезии существует специфическая область применения геодезических измерений - обеспечение монтажа, юс­ тировки, метрологических исследований и эксплуатации сложных уникальных сооружений и их оборудования. К таким сооружени­ ям относятся синхрофазотроны и линейные ускорители, радио-и оптические телескопы, радиоинтерферометрические комплексы, плотины крупных гидроэлектростанций и т.п. Геодезические ра­ боты, выполняемые на таких объектах, требуют нетрадиционных приборов и методов измерений и их обработки; они получили название специальных геодезических работ (СГР). Как правило, СГР выполняют с высокой точностью; так, углы измеряют с точ­ ностью КГ^ОД-О,^'), линии -КГ6, взаимное положение пунктов определяют с точностью до 0,1 мм на расстоянии до 100 м, т.е. также с точностью КГ6. В этом случае становится обязательным учет неоднородности поля силы тяжести.

Инженерно-геодезические работы всегда проводят на сравни­ тельно малой территории, поэтому можно предполагать, что в этом случае при определенных условиях допустимо использовать концепцию плоской Земли. Рассмотрим эти условия.

На рис. 11.1-11.3 Р и Q - две точки инженерно-геодезической сети. Проведем через точку Р уровенную поверхность W - Wp потенциала силы тяжести, р - средний радиус кривизны этой по­

342

верхности в точке Р. Горизонтальная плоскость, проходящая че­ рез точку Р, перпендикулярна вектору gp (отвесной линии); в од­ нородном поле эта плоскость была бы уровенной поверхностью.

Введем прямоугольную топоцентрическую систему координат с началом в точке Р (см. рис. 11.3). Ось z направим по отвесной линии вверх, противоположно направлению силы тяжести, ось х на север, ось у на восток (на чертеже ось у не показана). Положе­

ние точки Q в этой системе определено координатами х, у, z или го­ ризонтальным расстоянием PQX= yjχ 2 + у2, азимутом А = arctg у/х и превышением z; Qj - проекция точки Q на горизонтальную плос­ кость по нормали к последней.

Рис. 11.3. К влиянию неоднородности поля силы тяжести на результаты измерений

В реальном поле направления силы тяжести в точках Р и Q в общем случае не совпадают и отвесная линия QQ0 не совпадает с нормалью QQj (Q0 - проекция точки Q на уровенную поверх­ ность W - Wp по отвесной линии gq). Угол ψ между направле­ ниями силы тяжести в точках Р и Q можно рассматривать как уклонение отвеса. Положение точки Q относительно Р в реаль-

343

ном поле определяется расстоянием Q0P = s0 между проекциями точек на уровенную поверхность W ~ Wp, азимутом а и превы­ шением QQ0 = hq. Точно также положение точки Р относительно Q можно определить расстоянием QP0= s{ между точкой Q и проек­ цией Р0 точки Р на уровенную поверхность точки Q и превыше­ нием РР0 = hp. Уровенные поверхности, проходящие через точки Р и Q, не параллельны, расстояние между ними для точек Р и Q не одинаково, поэтому превышения hp и hq не равны между собой. Кривизна уровенной поверхности не постоянна, поэтому рас­ стояния s{ и s0 между проекциями точек на уровенные поверх­ ности W = Wp и W - Wq различны. Таким образом, расстояние между точками Р и Q характеризуется длинами отрезков PQ = s и QPj = QjP и длинами лежащих на уровенных поверхностях линий s0 и Sj. Длина отрезка PQ как расстояние между точками в про­ странстве инварианта к системам координат и сохраняется неиз­ менной в реальном (неоднородном) и в однородном поле.

Различие расстояний между точками в однородном и в нео­ днородном поле обусловлено кривизной (1.11) силовой линии и кривизной (1.9) уровенной поверхности. Обет эти величины связа­ ны со вторыми производными потенциала силы тяжести. При перемещении вдоль силовой линии на расстояние h направление отвесной линии изменится на угол Αψ

л h G u Αψ =—= —А,

Ρg

где ρ - радиус кривизны силовой линии; G - модуль горизонталь­ ного градиента силы тяжести (см. рис. 1.3 и формулу 1.11).

В линейной мере смещение конечной точки отрезка h силовой линии от отвесной линии составит

/гАу/ = —/г2. g

При перемещении вдоль уровенной поверхности на расстоя­ ние s отклонение от плоскости, касательной к уровенной поверх­ ности в начальной точке,

Ah = i - = ± ( W XX + Wyy)s2.

2р 4g

В обоих случаях смещение определяется вторыми производ­ ными потенциала.

344

Оценим возможную величину отличия расстояний, превы­ шений и углов в реальном и в однородном поле. Реальное поле обычно разделяют на нормальное и аномальное. В простейшем случае в качестве нормального используют центральное поле сферической Земли. Тогда уровенные поверхности W = Wp и W=Wq будут концентрическими сферами, расстояние h между которыми в точках Р и Q одинаково, а расстояния s x и про­ порциональны радиусам р + h и р соответствующих окружностей (см. рис. 11.2)

sx _ P + h		S \- s 0 _ h
so	P	so	P

Проведем из точки Q линию QP1? перпендикулярную PP0. Рас­ стояние PjQ = (p + h) siny/A практически совпадает с дугой sx= = (Р + h)wA

S\ -P\Q = {p + h )\f/A ~(p + hp)ζΐηψΑ = Ε ^ £ .ψ \ =		s'	Д„
	6	6(p +hpy
откуда
s\ ~P\Q _	s\
sx	6(p +hp)2 '

При sx= 1 км это отношение составит 4 · 10-9, что не ощутимо при нынешней точности линейных измерений в геодезии. Поэто­ му можно считать, что PjQ = sxn

PiQ -s0 = si - s0 =flp — ·

( Π · 1)

P

Относительная разность длин линий в однородном и неодно­ родном поле составит

Л 6 So

( 11.2)

что при hp =Юм дает 1,6 · КП6. Следовательно, при значительных превышениях нужно учитывать отличие расстояний между проек­ циями точек Р и Q на уровенных поверхностях этих точек.

345

Рассмотрим разность превышений в однородном и централь­ ном поле. Согласно рис. 11.4

(р + h)cosy/A = p + z.

Рис. 11.4. Геодезические измерения в центральном поле

Разложим cos ψΑ в ряд, ограничиваясь членами порядка ψ 2Α9

и учтем, что sx = (р + Η)ψΑ, тогда
h = ζ +	(11.3)
2(p +h)

При s{ = I км h - z = 7$ мм. Эта разность является поправкой

впревышение за кривизну Земли.

Воценках (11.1) - (11.3) кривизна нормальной уровенной по­ верхности считалась постоянной, т.е. уровенные поверхности отождествлялись со сферами. В действительности уровенные по­ верхности не параллельны, а их кривизна в разных точках одной и той же уровенной поверхности различна и определяется вторы­ ми производными потенциала силы тяжести. Непараллельное^

346

нормальных уровенных поверхностей и ее влияние на высоту оп­ ределена формулой (7.26)

Го	Го н у
щ ~ н 1 =	1Хср'>

где Уо, у 0ч - нормальная сила тяжести на эллипсоиде на одной широте с точками Р и Q соответственно; Щр - средняя высота. Для близких точек можно написать

Г = у '+ |^ - А Я = γζ + γ,β sin 2BAB,

поэтому

у Р	_уЯ	у Р _ уЯ	sin2ΰΔΰί
Го-- Г_о_ s Го-- [0_ = _ β
	7™	У,

где χ,, β - коэффициенты нормальной формулы; ΔΒ - разность широт точек Р и Q; ут - значение нормальной силы тяжести, вы­ численное по средней широте точек Р и Q и высоте У^Щр- Заме­ няя разность широт расстоянием, после несложных преобразова­ ний получим

IН у - Н 01<у		P-H yssm2B = 0,83·lO~6H ysKMsin2В.	(11.4)
I	I	p

При s = 1 км и Hg = 200 μ

\Hyp - H o\<0,2MMy .

Горизонтальные направления в однородном и в центральном поле одинаковы, поскольку нормали к уровенным поверхностям лежат в одной плоскости. Однако в эллипсоидальном нормаль­ ном поле эти нормали будут скрещивающимися прямыми и го­ ризонтальные направления не совпадут.

Разность горизонтальных направлений можно оценить по фор­ муле (6.7) поправки за высоту наблюдаемого предмета, используя в этой формуле превышение h вместо геодезической высоты Н и заменяя радиус М кривизны меридиана средним радиусом кри­ визны р уровенной поверхности

Поправка в горизонтальное направление, так же, как и отно­ сительное искажение длин (см. формулу (11.2)), пропорциональна отношению Ыр. Но так как е2 ~ 1/150, даже при sin2^ и cosВ рав­ ных единице

<52 < -1 (Г 2.	(11.5)
Р

При h - 10 м δ2 = 0,002". Это влияние пренебрегаемо и при измерении горизонтальных направлений нормальное поле можно считать однородным.

Таким образом, согласно формулам (11.1) - (11.5) нормальное гравитационное поле можно считать однородным, если точность линейных и угловых измерений не выше 10-5. Непараллельное^ нормальных уровенных поверхностей нужно учитывать только при высокоточных нивелировках, значительных высотах над уровнем моря и больших углах наклона измеряемых линий.

Оценим влияния неоднородности аномального поля. Представ­ ляя аномальный потенциал Т в виде Т - γζ, где ζ - аномалия вы­ соты, а реальный потенциал силы тяжести потенциалом притяже­ ния W = GMIR ~ γρ, получим отношение аномального потенциа­ ла к потенциалу силы тяжести

W р	( 11.6)
Аномалии высоты на Земле не превышают 150 м, р = 6,4 -106 м,
поэтому
Т <2,4 10'5.
W

Эту оценку можно считать верхним пределом влияния ано­ мального поля.

Найдем разность уклонений отвеса в точках Р и Q, т.е. угол между направлениями силы тяжести в этих точках. Уклонения отвеса связаны с производными аномального потенциала; так, для составляющей ξ уклонения отвеса в плоскости меридиана можно написать

348

Представим производную в точке Q рядом Тейлора

дТ		ЭТ	+ ( Τ χ χ ) ρ Χ + <Тху)Ру + (Τχζ)Ρζ + ...,
1 Эх к		Эх
где ТХХ,ТХУ,ТХ. - вторые производные по координатам х, у.
Тогда
	ξρ - ξ 4 =^[(Txx)px + (Txy)Py + (Tx:)pz].			(11.7)

Аналогичное равенство можно написать для составляющей уклонения отвеса в плоскости первого вертикала.

Таким образом, разность уклонений отвеса определяется вто­ рыми производными аномального потенциала.

Кривизна — уровенной поверхности также определена вторы-

Р

ми производными потенциала (см. формулу (1.9))

_1_ - ^ t w xx + wyy).

Р2g

Выделяя нормальную часть, найдем аномалию кривизны

1	+Т ).
= — (Т
2g у хх	уу }
У

На поверхности Земли аномалии кривизны обычно не превы­ шают нескольких десятков этвеш (Э), аномалия Tzz вертикального градиента силы тяжести может достигать 1000-1500 Э. Но на стро­ ительной площадке вблизи массивных сооружений аномалии кри­ визны также могут быть значительны, так как вторые производ­ ные чувствительны к близко расположенным массам. Принимая для производных Тхх, Тху значение 100 Э, для ТХ2 1000 Э и считая х = у = 100 м, превышение ζ = Юм, для разности уклонений отве­ са получим

ξ ρ - ξ 4 = 3· кг6 = 0,6".

Разность аномалий высот в точках Р и Q можно оценить с помощью формулы (8.34) астрономического нивелирования, ос­ тавляя только главный по величине первый член этой формулы,

С, - ζρ = -(tip +

2.

(11.8)

349