§ 36. ПРИВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНО-УГЛОВОЙ СЕТИ В ЕДИНУЮ СИСТЕМУ КООРДИНАТ

Рассмотрим редуцирование пространственной (тахеометричес­ кой) сети. На рис. 6.5 Р, Q, R - пункты сети, в которых измерены горизонтальные углы U.. и зенитные расстояния Ζ... Положим, что в исходном пункте Р, кроме того, измерены астрономические коорди­ наты <р, Я, азимут а и длина отрезка PQ. Геодезические координаты В, L, Н исходного пункта известны. Покажем, что этих измерений достаточно для определения геодезических координат точек Q и R.

Рис. 6.5. Пространственная геодезическая сеть

Измерение астрономических координат и азимута в исходном пункте Р определяет ориентировку топоцентрической системы ко­ ординат Pxyz относительно геодезической, астрономические коор­ динаты определяют положение оси ζ (отвесной линии), а вычис­ ленный согласно формуле (6.10) геодезический азимут - ориенти­ ровку осей Рх и Ру. Измеренные горизонтальные углы и зенитные расстояния позволяют вычислить направляющие косинусы /.*, т к, п клиний в системах всех пунктов

/..* = sinZxosf/..,

У У У

т.к= sinZ sint/,
IJ	IJ	iy

п.к= cosZ..,

иУ

185

индекс к указывает на принадлежность к системе того или иного пункта, индексы /, j определяют линию. Далее можно найти углы плоского треугольника PQR по известным формулам

cos Р =lppqlppr +m pqmppr + nppqnppr,

cosQ = l4qpl4qr+m4qpm4qr+n
		qp qr	qp qr’
C OS К	K p K q	^ r p ^ r q	^ r p ^ r q '

и решить этот треугольник. После этого легко определить прира­ щения прямоугольных координат точек R и Q в системе Pxyz. Для распространения системы Pxyz начальной точки на остальные пунк­ ты сети нужно определить ориентировку систем Qx'y'z' и Rx"y"z" относительно исходной. Это возможно сделать из сопоставления направляющих косинусов линий в исходной и определяемой систе­ мах. Так, направляющие косинусы стороны QP в системе коорди­ нат исходного пункта Р обозначены

I? = —1р	wip	——шр	- -η Ρ
l qp l p q ’	r n qp	r n p q ’ ЯР	p q ’

а в системе пункта Q их можно найти по горизонтальным и верти­ кальным углам согласно формуле (6.33). Известно, что направляю­ щие косинусы при повороте системы координат определены выра­ жениями

Inn - InJan + тр тр + пр.п
-q p q x qp ' " * q x	q x qp ’

min = InJL + mpWlP + TlP np					qp	(6.37)
qp	qy	qp	qy n qp	n qy ’
q	tl qpz ll qpp	+~	Y Y I P	P
nqp —			r n q z rwniqpp	+np2nqp*

Такие уравнения можно написать для каждой пары точек, ко­ ординаты которых известны в системе координат точки Р, и опре­ делить направляющие косинусы

1qx	mqx	nqx
1	m	n	(6.38)
q y	q y	q y
ι	m	n
qz	qz	qz

осей системы Qx'y'z' в системе Pxyz. Для определения девяти неиз­ вестных (6.38) достаточно иметь направляющие косинусы двух сто­

186

рон в исходной и определяемой системах, так как величины (6.38) связаны соотношением

/2 + т 2 + п2= 1.

(6.39)

Если же используется большее число сторон, появляется воз­ можность уравнительных вычислений.

Таким образом, можно свести местные топоцентрические сис­ темы координат к системе исходного пункта и найти приращения прямоугольных координат всех пунктов пространственной сети.

Развитию линейно-угловых сетей препятствует влияние верти­ кальной рефракции, из-за которой точность измерения зенитных расстояний по крайней мере на порядок ниже точности горизон­ тальных направлений. Поэтому такие сети создают только в спе­ циальных случаях, к которым относятся, например, измерения в горах при хороших условиях видимости или в прикладной геоде­ зии, когда расстояния между пунктами невелики и углы наклона значительны. В обоих этих случаях точность измерения горизон­ тальных и вертикальных углов соизмерима.

§ 37. ТРЕБОВАНИЯ К ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ДЛЯ РЕДУЦИРОВАНИЯ

Для вычисления найденных выше поправок в измеренные вели­ чины необходимо знать геодезические координаты точек наблюде­ ния и уклонения отвесной линии. Так как сами измерения выпол­ няют с целью определения координат, строго говоря, редуцирова­ ние можно провести только последовательными приближениями, используя на первом этапе приближенные координаты измеритель­ ных точек. Требования к точности приближенных координат за­ висят от вида и точности измерений и вида редукции. Рассмотрим эти требования.

Поправки δ]и δ2в горизонтальные направления зависят от зе­ нитного расстояния и высоты. Требования к точности высоты в формуле (6.4) невысоки: ошибка высоты в 1 км вызывает ошибку поправки в 0,1". Будем исходить из ошибки измерения горизон­ тального направления, равной 0,7", и потребуем, чтобы ошибки Wj, т2 поправок <5, и δ2 не превышали 0,1", т.е.

т{= m$ctgZ < ОД", т2= 0Д"гая8т2А cos22Bm< 0,1".

187

Видно, что условие т2< ОД" будет выполняться при любых зна­ чениях азимута и широты, если тн < 1км. Нахождение высоты с точностью сотен метров не вызывает затруднений, поэтому поправ­ ку δ2 всегда можно вычислить с необходимой точностью. Точность вычисления поправки за уклонение отвеса зависит от зенитного расстояния направления.

Приведем значения допустимых ошибок τηϋуклонения отвеса, обеспечивающих вычисление поправки δ] с точностью 0,1":

Зенитное расстояние, градус	54-80	80-85	85-87 87-89
Допустима ошибка	0,1-0,5	0,5-1,0	1-2	2-5
уклонения отвеса, секунда

Если зенитные расстояния находятся в пределах 89,5-90,5°, по­ правка ή может быть вычислена точно при сравнительно грубых определениях уклонения отвеса; в этом случае может оказаться, что величина уклонения отвеса меньше необходимой точности его оп­ ределения, поэтому поправку δ, вводить нецелесообразно. При ма­ лых значениях Ζ точный учет поправки δ, ставит очень жесткие тре­ бования к точности уклонений отвеса.

Чтобы установить допустимые ошибки высоты и уклонения от­ веса при редуцировании линейных измерений, обратимся к равен­ ству (6.27), логарифмируя и дифференцируя которое получим (с учетом выражения (6.28))

	dP _ dP	AHd(AH)	dk
	D ~ D	D2	2 ’
где AH = Нч - Hp.
Если потребовать, чтобы ---- ^ — “ - ОД · Ю 6 и — ^ 0,1 · 10 6,
dk	dH
то, так как — -	. для ошибки высоты находим Ш < N ■10-6 = 6 м,
		D2

а для ошибки превышения d(AH)< ——-\0~b. Таким образом, до-

АН

пустимые ошибки превышения зависят от длины и наклона изме­ ряемого отрезка; при АН = Р d(AH) = Р · 10-6.

Требования к точности высот и уклонений отвеса при редуци­ ровании базиса установим, исходя из формулы (6.36). Выразим при­ ближенно превышение конечной точки базиса относительно на-

188

чальной через зенитное расстояние, Ydh - bcosz, после чего, диффе­ ренцируя получившееся выражение, найдем

db	ло		dHm
—	= άϋ„, cos z-		R
Базисы измеряют с точностью 1 · 10_6, поэтому необходимо,
чтобы выполнялись условия		■fflV < io-6		——^cosz < 1 0 6,
		R		р"

άϋηι cos z < 0,2м. Это приводит к требованию определения геодези­ ческой высоты базиса с ошибкой не более 6 м. Требования к точ­ ности определения уклонения отвеса такие же, как и для редуциро­ вания горизонтального направления.

Таким образом, требования к точности определения высот над эллипсоидом одинаковы при редуцировании базиса и простран­ ственного отрезка. В последнем случае кроме высот нужно знать превышение конечных точек отрезка с точностью, зависящей от его длины.

§ 38. РАЗВЕРТЫВАНИЕ АСТРОНОМО­ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ НА ПОВЕРХНОСТИ РЕФЕРЕНЦ-ЭЛЛИПСОИДА

В § 37 установлено, что для редуцирования результатов изме­ рений к поверхности референц-эллипсоида геодезические коорди­ наты измерительных точек должны быть известны с высокой точ­ ностью, хотя сами эти измерения выполняют с целью определе­ ния геодезических координат. Почти до середины XX века экспериментальных данных, необходимых для редуцирования - уклонений отвеса и геодезических высот - не было, поэтому при­ ходилось исходные данные исправлять лишь по приближенным высотам над уровнем моря. Это приводит к редуцированию из­ мерений не на поверхность эллипсоида, а на какую-то иную близ­ кую к нему неизвестную поверхность. Тем не менее предполага­ лось, что редуцированные таким несовершенным способом вели­ чины относятся к эллипсоиду. Благодаря тому, что поправки в горизонтальные направления за уклонения отвеса в сетях триан­ гуляции малы (зенитные расстояние в этих сетях близки к 90°), основная погрешность редуцирования относилась к редуцирова­ нию базисов и выходных сторон.

189

Тем не менее, дальнейшая обработка ведется так, как будто бы было выполнено точное редуцирование на эллипсоид, т.е. проис­ ходит, как говорят, развертывание астрономо-геодезической сети на референц-эллипсоиде, в результате которого находят геодези­ ческие координаты пунктов сети последовательным суммировани­ ем разностей широт и долгот от исходного пункта. Возникающие при этом искажения в сети будут вызваны не только ошибками высот и уклонений отвеса, но и влиянием ошибок плановых коор­ динат и высот смежных пунктов. Так, если в исходном пункте Р линии PQ высота известна с ошибкой dHo, то линия PQ будет реду­ цирована не на поверхность Σ референц-эллипсоида, а на поверх­ ность Zj (рис. 6.6). Если проекцию p,q, = bl линии PQ отложить (развернуть) на поверхности Σ эллипсоида, то вместо проекции qo точки Q по нормали к Σ получим точку q2. Значит, высота точки Q получит ошибку dHv а плановое положение - ошибку db, и вместо геодезических координат точки Q будут получены координаты точ­ ки Q'. Разность астрономических координат точки Q и геодезичес­ ких координат точки Q' определит смешанное уклонение отвеса t, зависящее не только от характера гравитационного поля, но и от ошибок геодезических координат.

D Ъ

Рис. 6.6. К влиянию ошибки высоты на плановые координаты

190

Поверхность Σ] при малых значениях углового расстояния Ψ можно считать параллельной эллипсоиду; отрезок равен ошибке άΗυ высоты в исходном пункте, поэтому смещение точки Q из-за развертывания можно оценить по формулам

dH, = dH cos^F,

db = άΗβηΨ.

(6.40)

Заметим, что в триангуляции зенитные расстояния направле­ ний обычно близки к 90° и влияние ошибок уклонений отвеса на редукции базисов и горизонтальных направлений пренебрегаемо. Поэтому влияние развертывания вызвано только ошибками реду­ цирования базисов из-за неточного знания геодезических высот. В XIX в. для редуцирования базисов вместо геодезических высот ис­ пользовали высоты пунктов над уровнем моря и триангуляцию редуцировали на поверхность геоида. В связи с этим методом раз­ вертывания обычно называли такой метод обработки геодезичес­ кой сети, при котором спроектированную на геоид по отвесным линиям и высотам над уровнем моря сеть обрабатывали так, как будто бы она была отнесена к референц-эллипсоиду.

После того, как геодезические высоты были определены, по­ явилась возможность редуцирования сети непосредственно на по­ верхность эллипсоида. Метод обработки, при котором пункты астрономо-геодезической сети проектируют на поверхность рефе- ренц-эллипсоида по нормалям к нему, носит название метода про­ ектирования.

Строго говоря, из-за неизбежных ошибок геодезических вы­ сот всегда используют метод развертывания, и обработку астро- номо-геодезической сети производят последовательными прибли­ жениями, уточняя высоты по найденным после редуцирования с их использованием плановым координатам и затем выполняя но­ вое редуцирование.

Помимо ошибки из-за неточности высот на редуцирование дей­ ствует и систематическая погрешность: вследствие волнистости гео­ ида длина дуги между одними и теми же точками на поверхности геоида всегда больше дуги на эллипсоиде (рис. 6.7).

Поверхность проектирования

Рис. 6.7. Сравнение дуг эллипсоида и геоида

191

Таким образом, последовательность вычислений в астрономо­ геодезической сети складывается из следующих этапов:

-измерение астрономических (натуральных) координат φ, λ в исходном пункте, редуцирование базисов по приближенным высо­ там и вычисление приближенных геодезических координат;

-вычисление смешанных уклонений отвеса и аномалий высот;

-редуцирование измерений по смешанным уклонениям отвеса

иприближенным геодезическим высотам;

-развертывание сети на эллипсоиде, уравнительные вычисле­ ния и определение геодезических координат;

-определение разностей приближенных и уточненных геодези­ ческих координат и вычисление поправок за развертывание.

Полученные в результате этого геодезические координаты бу­ дут соответствовать координатам, которые получились бы при проектировании измерений на поверхность эллипсоида.

Методы проектирования и развертывания дополняют друг дру­ га: вычислить дугу ряда триангуляции после проектирования мож­ но только методом развертывания.

Разности приближенных и уточненных координат можно по­ лучить из сопоставления координат пунктов, общих для астроно­ мо-геодезической и спутниковой геодезических сетей. Это позво­ лит учесть поправки за развертывания, избегая последовательных приближений.